平面向量的数量积练习题[.doc

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§5.3平面向量的数量积

一、选择题

1．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·（a＋2b）＝（　　）

A．4　　　　　　　　　　　 B．3

C．2 D．0

解析：

由a∥b及a⊥c，得b⊥c，

则c·（a＋2b）＝c·a＋2c·b＝0.

答案：

D

2．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为（　　）

A．0B.C.D.

解析∵a·c＝a·

＝a·a－a·b＝a2－a2＝0，

又a≠0，c≠0，∴a⊥c，∴〈a，c〉＝，故选D.

答案　D

3.设向量=（1.）与=（-1，2）垂直，则等于（）

ABC.0D.-1

解析正确的是C.

答案C

4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是（　　）．

A．－4 B．4 C．－2 D．2

解析　设a与b的夹角为θ，∵a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，而cosθ＝＝－，

∴|a|cosθ＝6×＝－4.

答案　A

5．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，（a－c）·（b－c）≤0，则|a＋b－c|的最大值为（　　）．

A.－1 B．1 C. D．2

解析　由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及（a－c）（b－c）≤0，可以知道，（a＋b）·c≥c2＝1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2（a·c＋b·c）≤1，

故|a＋b－c|≤1.

答案　B

6．已知非零向量a、b满足|a|＝|b|，若函数f（x）＝x3＋|a|x2＋2a·bx＋1在x∈R上有极值，则〈a，b〉的取值范围是（　　）

A. B.

C. D.

解析　∵f（x）＝x3＋|a|x2＋2a·bx＋1在x∈R上有极值，∴f′（x）＝0有两不相等的实根，∵f′（x）＝x2＋2|a|x＋2a·b，∴x2＋2|a|x＋2a·b＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4|a|2－8a·b＞0，即a·b＜|a|2，∵cos〈a，b〉＝，|a|＝|b|，∴cos〈a，b〉＜＝，∵0≤〈a，b〉≤π，

∴＜〈a，b〉≤π.

答案　D

7．如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是（　　）．

A.·

B.·

C.·

D.·

解析　由于⊥，故其数量积是0，可排除C；与的夹角是，

故其数量积小于零，可排除D；设正六边形的边长是a，

则·＝||||cos30°＝a2，·＝||||cos60°＝a2.

答案　A

二、填空题

8．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a－3b|等于________．

解析∵|a－3b|2＝a2－6a·b＋9b2＝10－6×cos60°＝7，∴|a－3b|＝.

答案

9.已知向量,，若，则的值为．

解析

答案

10．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.

解析　设a与b夹角为θ，由题意知|a|＝1，|b|＝1，θ≠0且θ≠π.由a＋b与向量ka－b垂直，得

（a＋b）·（ka－b）＝0，即k|a|2＋（k－1）|a||b|cosθ－|b|2＝0，（k－1）（1＋cosθ）＝0.

又1＋cosθ≠0，∴k－1＝0，k＝1.

答案　1

11．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．

解析　由题意知：

a·b＝（e1－2e2）·（ke1＋e2）＝0，即ke＋e1e2－2ke1e2－2e＝0，即k＋cos－2kcos－2＝0,化简可求得k＝.

答案　

12．在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则（＋）·的值为________．

解析：

||2＝||2＋||2＝8，||＝||，＋＝2，（＋）·＝2·＝||2＝4.

答案：

4

三、解答题

13．已知向量a＝（1,2），b＝（2，－2）．

（1）设c＝4a＋b，求（b·c）a；

（2）若a＋λb与a垂直，求λ的值；

（3）求向量a在b方向上的投影．

解析：

（1）∵a＝（1,2），b＝（2，－2），

∴c＝4a＋b＝（4,8）＋（2，－2）＝（6,6）．

∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴（b·c）a＝0a＝0.

（2）a＋λb＝（1,2）＋λ（2，－2）＝（2λ＋1,2－2λ），

由于a＋λb与a垂直，

∴2λ＋1＋2（2－2λ）＝0，∴λ＝.

（3）设向量a与b的夹角为θ，

向量a在b方向上的投影为|a|cosθ.

∴|a|cosθ＝＝＝－＝－.

14．如图所示，＝（6,1），＝（x，y），＝（－2，－3）．

（1）若∥，求x与y之间的关系式；

（2）在

（1）条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．

解析　

（1）∵＝＋＋＝（x＋4，y－2），＝－＝（－x－4,2－y）．

又∥且＝（x，y），∴x（2－y）－y（－x－4）＝0，

即x＋2y＝0.①

（2）由于＝＋＝（x＋6，y＋1），＝＋＝（x－2，y－3），又⊥，∴·＝0.

即（x＋6）（x－2）＋（y＋1）（y－3）＝0，②

联立①②化简，得y2－2y－3＝0，

∴y＝3或y＝－1.

故当y＝3时，x＝－6，此时＝（0,4），＝（－8,0），

∴SABCD＝||·||＝16；

当y＝－1时，x＝2，此时＝（8,0），＝（0，－4），

∴SABCD＝||·||＝16.

15．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，求·＋·＋·的值．

解析　由题意知△ABC为直角三角形，⊥，

∴·＝0，cos∠BAC＝，

cos∠BCA＝，

∴和夹角的余弦值为－，

和夹角的余弦值为－，

∴·＋·＋·

＝20×＋15×＝－25.

16．设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

思路分析　转化为（2te1＋7e2）·（e1＋te2）＜0

且2te1＋7e2≠λ（e1＋te2）（λ＜0）．

解析　由已知得e＝4，e＝1，e1·e2＝2×1×cos60°＝1.

∴（2te1＋7e2）·（e1＋te2）＝2te＋（2t2＋7）e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.

欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7＜0.

得－7＜t＜－.

设2te1＋7e2＝λ（e1＋te2）（λ＜0）．

∴∴2t2＝7.

∴t＝－，此时λ＝－.

即t＝－时，向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.

∴夹角为钝角时，t的取值范围是

∪