平面向量的基本性质.doc

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平面向量的基本定理及其坐标表示

第一部分知识梳理

一、平面向量的基本定理：

如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使得。

我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

对于两个非零向量与，通过平移使他们的起点重合，比如，，则叫做向量与的夹角。

二、平面向量的正交分解及坐标表示

（1）向量的分解：

一个平面向量用一组基底表示成,（）的形式，我们称之为向量的分解

（2）向量的正交分解：

把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解，这两个互相垂直的向量称为正交基底。

（3）平面向量的坐标表示：

在平面直角坐标系中，分别去与轴，轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面捏的任一向量，由平面向量基本定理可以知，有且只有一对实数，使得，这样，平面内的任一向量都可以由唯一确定，我们把有序的实数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，叫做向量的坐标表示。

三、平面向量的坐标运算：

（1）两个向量和、差的坐标运算。

已知则

，

（2）平面向量数乘的坐标运算。

已知，则

（3）已知、的坐标，求的坐标。

设，则

四、平面向量共线的坐标表示：

已知，，与共线

五、线段定比分点坐标：

若点，P2（x2，，为实数，且P,则点P的坐标满足：

第二部分精讲点拨

考点1平面向量基本定理

（1）设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：

①与；②与；③与④与其中，不能作为平面内所有向量的一组基底是__________（写出满足条件的序号）

已知，是平面内两个不共线的向量，

，试用表示

考点2向量夹角的计算

（2）已知，且与的夹角为，求与的夹角，与的夹角。

考点3向量的正交分解及坐标表示

3．已知向量，对坐标平面的任一向量，给出下列四个结论

①存在唯一的一对实数，使得；

②若，，则

③若，且，则的始点坐标是，则。

其中，正确结论的个数是（）

已知是直角坐标系坐标原点，点在第一象限，，，求向量的坐标。

考点4平面向量的坐标运算

4．已知，若，求点的坐标。

考点5利用向量坐标证明三点共线

5．①已知,，，求证：

点共线

②设向量，，，求当为何值时，点共线

考点6定比分点的坐标的计算方法

（6）若过点,的直线上一点,使,求出点的坐标。

第三部分检测达标

一、选择题

1.若A（x，－1）、B（1，3）、C（2，5）三点共线，则x的值为（）

A．－3B．－1C．1D．3

3.已知=（5，－3），C（－1，3），=2，则点D坐标（）

A．（11，9）B．（4，0）C．（9，3）D．（9，-3）

4.设=（，sinα），=（cosα，），且∥，则锐角α为（）

A．30０B．600C．450D．750

5.若向量=（1，－2），||=4||，且，共线，则可能是（）

A．（4，8）B．（－4，8）C．（－4，－8）D．（8，4）

6.平行四边形ABCD的三个顶点为A（-2，1）、B（-1，3）、C（3，4），则点D的坐标是（）

A．（2，1）B．（2，2）C．（1，2）D．（2，3）

7.己知P1（2,－1）、P2（0,5）且点P在P1P2的延长线上,,则P点坐标为（）

A.（－2,11） B.（ C.（,3） D.（2,－7）

8.已知=（2,3）,=（,7）,则在上的投影值为（）

A.B、C、 D、

二、填空题

1.设=（4，－3），=（x，5），=（－1，y），若+=，则（x，y）=．

2.若=（-1，x）与=（－x，2）共线且方向相同，则x=．

3.若A（－1，－1），B（1，3），C（x，5）三点共线，则x=．

4.已知=（3，2），=（－2，1），若λ+与+λ（λ∈R）平行，则λ=．

5.已知||=10，=（4，－3），且∥，则向量的坐标是．

6.若向量=（－1，x），=（－x，2），且与同向，则－2=．

7.已知点O是平行四边形ABCD的对角线交点，=（2，5），=（-2，3），则坐标为，坐标为，的坐标为．

8.已知=（x1，y1），=（x2，y2），线段AB中点为C，则的坐标为．

三、解答题

1.已知向量=（1，2），=（x，1），=+2，=2-且∥，求x．

2.已知向量，，向量与平行，且=4，

求向量的坐标．

3.已知两点A（4，－2），B（－4，4），C（1，1），

（1）求方向与一致的单位向量；

（2）过点C作向量与共线，且，求D点坐标；

（3）若A、B、C都是某个平行四边形的顶点，求另一个顶点D的坐标

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