平面向量的基本性质.doc

1、 平面向量的基本定理及其坐标表示第一部分 知识梳理 一、平面向量的基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使得。我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。对于两个非零向量与，通过平移使他们的起点重合，比如，则叫做向量与的夹角。二、 平面向量的正交分解及坐标表示 （1）向量的分解：一个平面向量用一组基底表示成,(）的形式，我们称之为向量的分解 （2）向量的正交分解：把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解，这两个互相垂直的向量称为正交基底。 （3） 平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别去与轴，轴方向相同的两个

2、单位向量作为基底，对于平面捏的任一向量，由平面向量基本定理可以知，有且只有一对实数，使得，这样，平面内的任一向量都可以由唯一确定，我们把有序的实数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，叫做向量的坐标表示。三、平面向量的坐标运算：（1） 两个向量和、差的坐标运算。已知则 ，（2） 平面向量数乘的坐标运算。已知，则（3） 已知、的坐标，求的坐标。设，则四、平面向量共线的坐标表示： 已知，与共线五、线段定比分点坐标：若点，P2（ x2，为实数，且P,则点P的坐标满足： 第二部分 精讲点拨 考点1 平面向量基本定理（1） 设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量： 与； 与；

3、 与 与 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底是_ (写出满足条件的序号） 已知，是平面内两个不共线的向量，试用表示考点2 向量夹角的计算（2）已知，且与的夹角为，求与的夹角，与的夹角。考点3 向量的正交分解及坐标表示3 已知向量，对坐标平面的任一向量，给出下列四个结论 存在唯一的一对实数，使得； 若，则 若，且，则的始点坐标是，则。其中，正确结论的个数是（ ） 已知是直角坐标系坐标原点，点在第一象限，求向量的坐标。考点4 平面向量的坐标运算4 已知，若，求点的坐标。考点5 利用向量坐标证明三点共线5 已知,，求证：点共线 设向量，求当为何值时，点共线考点6 定比分点的坐标的计算方法（6）

4、若过点,的直线上一点,使,求出点的坐标。 第三部分 检测达标 一、选择题 1. 若A(x，1)、B(1，3)、C(2，5)三点共线，则x的值为 （ ） A 3 B 1 C 1 D 3 3. 已知=(5，3)，C(1，3)， =2，则点D坐标 （ ） A(11，9) B(4，0) C(9，3) D(9，-3) 4. 设=(，sin)，=(cos，)，且，则锐角为 （ ） A 30 B 600 C 450 D 750 5. 若向量=(1，2) ， | | = 4 |，且，共线，则可能是（ ） A(4，8) B(4，8) C(4，8) D(8，4) 6.平行四边形ABCD的三个顶点为A（-2，1）、

5、B（-1，3）、C（3，4），则点D的坐标是( ) A（2，1） B（2，2） C （1，2） D（2，3） 7.己知P1(2,1) 、P2(0,5) 且点P在P1P2的延长线上, 则P点坐标为 （ ) A. (2,11) B.( C.(,3) D.(2,7) 8. 已知=(2,3) , =(,7) ,则在上的投影值为（ ） A. B、 C、 D、 二、填空题 1.设=(4，3)，=(x，5)，=(1，y)，若+=，则（x，y）= 2.若=(-1，x)与=(x，2)共线且方向相同，则x= 3.若A(1， 1)， B(1，3)， C(x，5) 三点共线，则x= 4.已知=(3，2)，=(2，1)

6、，若+与+（R）平行，则= 5.已知|=10，=（4，3），且，则向量的坐标是 6.若向量=(1，x)，=(x，2)，且与同向，则2= 7.已知点O是平行四边形ABCD的对角线交点，=(2，5)，=(-2，3)，则坐标为 ，坐标为 ，的坐标为 8.已知=(x1，y1)，=(x2，y2)，线段AB中点为C，则的坐标为 三、解答题 1.已知向量=（1，2），=（x，1），=+2，=2-且，求x 2.已知向量，向量与平行，且=4，求向量的坐标3.已知两点A(4，2)，B(4，4)，C(1，1)，(1)求方向与一致的单位向量； （2）过点C作向量与共线，且，求D点坐标； （3）若A、B、C都是某个平行四边形的顶点，求另一个顶点D的坐标4