高中数学复习方略课时作业76平行垂直的综合问题人教A版数学文四川专用文档格式.docx
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①PB⊥AD；
②平面PAB⊥平面PBC；
③直线BC∥平面PAE；
④直线PD与平面ABC所成的角为45°
.
则所有正确结论为（）
（A）①②（B）②③（C）④（D）③④
6.已知三个不同的平面α，β，γ,a,b,c分别为平面α，β，γ内的直线，若β⊥γ且α与γ相交但不垂直，则下列命题为真命题的个数为（）
①任意b⊂β,b⊥γ；
②任意b⊂β，b∥γ；
③存在a⊂α，a⊥γ；
④存在a⊂α，a∥γ；
⑤任意c⊂γ，c∥α；
⑥存在c⊂γ,c⊥β.
（A）2个（B）3个（C）5个（D）6个
7.已知点O为正方体ABCD-A1B1C1D1底面ABCD的中心，则下列结论正确的是（）
（A）直线OA1⊥平面AB1C1（B）直线OA1∥直线BD1
（C）直线OA1⊥直线AD（D）直线OA1∥平面CB1D1
8.（能力挑战题）在正四面体ABCD中，棱长为4，
M是BC的中点，P在线段AM上运动（P不与A，M
重合），过点P作直线l⊥平面ABC，l与平面BCD
交于点Q，给出下列命题：
①BC⊥平面AMD；
②Q点一定在直线DM上；
③VC-AMD=4
其中正确的是（）
（A）①②（B）①③
（C）②③（D）①②③
二、填空题
9.设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：
①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；
②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；
③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；
④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.
其中正确命题的序号是____________.
10.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，
底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，
D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF=__________
时，CF⊥平面B1DF.
11.（能力挑战题）如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，
AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿
AE折起.下列说法正确的是____________.（填上所有正
确的序号）
①不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥平面DEC;
②不论D折至何位置都有MN⊥AE;
③不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥AB.
三、解答题
12.（2013·
岳阳模拟）如图所示的多面体中，AD⊥平面PDC，ABCD为平行四边形，E，F分别为AD，BP的中点，AD=3，AP=5，PC=2
（1）求证：
EF∥平面PDC.
（2）若∠CDP=90°
，求证BE⊥DP.
（3）若∠CDP=120°
，求该多面体的体积.
13.如图，沿等腰直角三角形ABC的中位线DE，将平面ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE得到四棱锥A-BCDE.
平面ABC⊥平面ACD.
（2）过CD的中点M的平面α与平面ABC平行，试求平面α与四棱锥A-BCDE各个面的交线所围成的多边形的面积与△ABC的面积之比.
14.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD与四边形CC1D1D均是边长为1的正方形，∠ADD1=120°
，点E为A1B1的中点，点P，Q分别为BD，CD1上的动点，且
（1）当平面PQE∥平面ADD1A1时，求λ的值.
（2）在
（1）的条件下，设N为DD1的中点，求多面体ABCD-A1B1C1N的体积.
15.（能力挑战题）如图，在△BCD中，∠BCD＝90°
，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°
，E，F分别是AC，AD上的动点，且
（0<
λ<
1）.
（1）判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明.
（2）是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD？
如果存在，求出λ的值；
如果不存在，说明理由.
答案解析
1.【解析】选C.当b⊂α时,若α⊥β，b不一定垂直于β.故C错误.
2.【解析】选C.连接CM，∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，
∴BM=AM=CM.又PM⊥平面ABC，
∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC,故PA=PB=PC.
【误区警示】本题易由于作图不准确，凭借直观感觉认为PC最长，从而误选B.
3.【解析】选D.因BC∥DF，所以BC∥平面PDF，A成立；
易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B，C均成立；
点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立.
4.【解析】选C.由垂直于同一个平面的两条直线平行，垂直于同一条直线的两个平面平行，可知②③正确.
5.【解析】选C.∵AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，∴①不成立；
又平面PAB⊥平面PAE，∴平面PAB⊥平面PBC也不成立，即②不成立；
∵BC∥AD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，即③不成立；
在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°
，∴④正确.
6.【解析】选A.④a平行于α与γ的交线即可；
⑥c垂直于β与γ的交线即可.
7.【解析】选D.设E为D1B1中点，根据正方体的性质可知A1E=OC，A1E∥OC，
∴四边形A1ECO为平行四边形，
则A1O∥EC，
而A1O
平面CB1D1，EC⊂平面CB1D1，
∴直线OA1∥平面CB1D1，
故选D.
8.【解析】选A.连接MD，对于①，由于该几何体为正四面体，点M为BC边上的中点，所以BC⊥AM，BC⊥DM，从而BC⊥平面AMD，故①正确；
对于②，由
BC⊥平面AMD得平面AMD⊥平面ABC，又直线l⊥平面ABC，所以直线l一定在平面AMD内，l与DM不平行，故②正确；
对于③，取AD中点N，连接MN，易知
MN⊥AD，在等腰三角形AMD中，
故③错，故选A.
【变式备选】点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列三个命题中正确的个数是（）
①三棱锥A-D1PC的体积不变；
②A1P∥平面ACD1；
③DP⊥BC1.
（A）0（B）1（C）2（D）3
【解析】选C.因为BC1∥AD1，所以直线BC1∥平面ACD1，则点P到平面ACD1的距离为定值，所以
为定值，故①正确；
又平面A1C1B∥平面ACD1，
A1P⊂平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，故②正确，显然③错，故选C.
9.【解析】①错误，l可能在平面α内；
②正确；
③错误，直线可能与平面相交；
④正确.故填②④.
答案:
②④
10.【解析】由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.
要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可.
令CF⊥DF，设AF=x，则A1F=3a-x.
由Rt△CAF∽Rt△FA1D，
得
即
整理得x2-3ax+2a2=0，
解得x=a或x=2a.
a或2a
11.【解析】将△ADE沿AE折起后所得图形如图,取DE中点P,EC中点Q,连接PM，PQ，QN，DC.
则PM
AE，NQ
BC，
∴PM
NQ，∴四边形PMNQ为平行四边形，
∴MN∥PQ.
又MN
平面DEC，PQ⊂平面DEC，
∴MN∥平面DEC，
故①正确.
又AE⊥ED，AE⊥EC，DE∩EC=E，
∴AE⊥平面DEC，∴AE⊥PQ，∴AE⊥MN，
故②正确.
由MN∥PQ，PQ与EC相交知MN与EC不平行，
从而MN与AB不会平行.
①②
12.【解析】
（1）取PC的中点为O，连接FO，DO，
∵F，O分别为BP，PC的中点，
∴FO∥BC，且FO=
BC.又四边形ABCD为平行四边形，
∴ED∥BC，且ED=
∴FO∥ED，且FO=ED，
∴四边形EFOD是平行四边形，
即EF∥DO.又EF
平面PDC，DO⊂平面PDC，
∴EF∥平面PDC.
，则DP⊥DC.又AD⊥平面PDC，
∴AD⊥DP，∵AD∩DC=D，∴DP⊥平面ABCD.
∵BE⊂平面ABCD，∴BE⊥DP.
（3）连接AC，由四边形ABCD为平行四边形可知△ABC与△ADC面积相等，
∴三棱锥P-ADC与三棱锥P-ABC体积相等，
即五面体的体积为三棱锥P-ADC体积的二倍.
∵AD⊥平面PDC，∴AD⊥DP.由AD=3，AP=5，可得DP=4.又∠CDP=120°
，PC=2
，
由余弦定理并整理得DC2+4DC-12=0，解得DC=2，
∴三棱锥P-ADC的体积
∴该五面体的体积为
【变式备选】已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°
，且AB=AA1=2，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点.
求证：
（1）DE∥平面ABC.
（2）B1F⊥平面AEF.
【证明】
（1）取AB的中点G，连接DG，GC，
则DG
BB1，又∵EC
BB1，∴DG
EC，
∴四边形DECG是平行四边形，∴DE∥GC.
又GC⊂平面ABC，DE
平面ABC，∴DE∥平面ABC.
（2）∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点，
∴BC⊥AF.
又B1B⊥平面ABC，∴AF⊥B1B.又B1B∩BC=B，
∴AF⊥平面BB1F，∴B1F⊥AF.
∵AB=AA1=2，易求得
∴B1F2+EF2=B1E2，∴B1F⊥EF，
又AF∩EF=F，∴B1F⊥平面AEF.
13.【解析】
（1）由题设知AD⊥DE.因为平面ADE⊥平面BCDE，根据面面垂直的性质定理得AD⊥平面BCDE，所以AD⊥BC，由CD⊥BC，AD∩CD=D，根据线面垂直的判定定理得BC⊥平面ACD.
又因为BC⊂平面ABC，
所以平面ABC⊥平面ACD.
（2）如图，设平面α与平面ACD、平面ADE、平面ABE、平面BCDE的交线分别为QM，QP，PN，MN，由于平面α∥平面ABC，
故MQ∥AC.
因为M是CD的中点，故Q是AD的中点，同理
MN∥BC，N为BE的中点，NP∥AB，P为AE的中点，
故平面α与四棱锥A-BCDE各个面的交线所围成的多边形是四边形MNPQ.
由于点P，Q分别为AE，AD的中点，所以PQ∥DE.又DE∥BC，BC∥MN，
故PQ∥MN.由
（1）知BC⊥AC，
又MN∥BC，MQ∥AC，所以MQ⊥MN，所以四边形MNPQ是直角梯形.
设CM=a，则MQ=
a，MN=3a，PQ=a，BC=4a，AC=2
a，
故四边形MNPQ的面积是
△ABC的面积是
所以平面α与四棱锥A-BCDE各个面的交线所围成的多边形的面积与△ABC的面积之比为
14.【解析】
（1）由平面PQE∥平面ADD1A1，得点P到平面ADD1A1的距离等于点E到平面ADD1A1的距离.而四边形ABCD与四边形CC1D1D均是边长为1的正方形，
∴DC⊥AD，DC⊥DD1，又AD∩DD1=D，
∴DC⊥平面ADD1A1，∴A1B1⊥平面ADD1A1.
又∵E是A1B1的中点，∴点E到平面ADD1A1的距离等于
∴点P到平面ADD1A1的距离等于
，即点P为BD的中点，∴
（2）连接B1D1，由
（1）知DC⊥平面ADD1A1，可知A1B1⊥平面ADD1A1，
∴
由CC1∥平面BB1D1D，得点C1到平面BB1D1D的距离等于点C到平面BB1D1D的距离，由平行六面体ABCD-A1B1C1D1的对称性，知点C1到平面BB1D1D的距离等于点A1到平面BB1D1D的距离，
由
（1）得DC⊥平面ADD1A1，而DC=1，
菱形ADD1A1的面积S=AD·
DD1sin∠ADD1=1×
1×
sin120°
=
∴平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积V=S·
AB=
×
1=
∴多面体ABCD-A1B1C1N的体积V′=
-
15.【思路点拨】
（1）结合图形猜测EF与平面ABC垂直.由
知EF∥CD，由∠BCD＝90°
及AB⊥平面BCD可证得结论成立.
（2）由于CD⊥平面ABC，即BE⊥CD，故只需满足BE⊥AC即可.
【解析】
（1）EF⊥平面ABC.
证明如下：
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
在△BCD中，∠BCD＝90°
，∴BC⊥CD.
又AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
在△ACD中，
=λ（0<
1），
∴EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.
（2）∵CD⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，
∴BE⊥CD，
故要使平面BEF⊥平面ACD，只需证BE⊥AC.
在Rt△ABD中，∠ADB＝60°
∴AB＝BDtan60°
＝
则
当BE⊥AC时，
即λ＝
时，BE⊥AC.
又BE⊥CD，AC∩CD＝C，
∴BE⊥平面ACD.
∵BE⊂平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ACD.
∴存在λ＝
时，平面BEF⊥平面ACD.
【变式备选】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°
的菱形，侧面PAD为等边三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
AD⊥PB.
（2）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？
如果存在，请说明F点的位置；
如果不存在，请说明理由.
（1）如图，取AD的中点G，连接PG，BG，BD.
∵△PAD为等边三角形，
∴PG⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
可得PG⊥平面ABCD.
在△ABD中，∠DAB=60°
AD=AB,
∴△ABD为等边三角形，∴BG⊥AD.又BG∩PG=G,
∴AD⊥平面PBG,∴AD⊥PB.
（2）F为PC中点时，平面DEF⊥平面ABCD.
理由如下：
连接CG,DE,且CG与DE相交于点H，
在△PGC中作HF∥PG，交PC于点F，连接DF，EF，则FH⊥平面ABCD,
∴平面DEF⊥平面ABCD.
∵菱形ABCD中，G，E分别为AD，BC的中点，即得知H是CG的中点，
∴F是PC的中点，
∴在PC上存在一点F，即为PC的中点，使得平面DEF⊥平面ABCD.
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