导数运用极大值与极小值(含答案).doc
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极大值与极小值
一、基础过关
1．函数y＝f（x）的定义域为（a，b），y＝f′（x）的图象如图，则函数y＝f（x）在开区间（a，b）内取得极小值的点有________个．
2．下列关于函数的极值的说法正确的是________．（填序号）
①导数值为0的点一定是函数的极值点；
②函数的极小值一定小于它的极大值；
③函数在定义域内有一个极大值和一个极小值；
④若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内不是单调函数．
3．函数y＝x3－3x2－9x（－24．函数f（x）＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a、b的值分别为________、________.
5．若函数f（x）＝在x＝1处取极值，则a＝________.
6．设函数f（x）＝6x3＋3（a＋2）x2＋2ax.若f（x）的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．
7．如果函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f（x）在区间内单调递增；
②函数y＝f（x）在区间内单调递减；
③函数y＝f（x）在区间（4,5）内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f（x）有极小值；
⑤当x＝－时，函数y＝f（x）有极大值．
则上述判断正确的是________．（填序号）
二、能力提升
8．若a>0，b>0，且函数f（x）＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于________．
9．若函数y＝x3－3ax＋a在（1,2）内有极小值，则实数a的取值范围是________．
10．求下列函数的极值：
（1）f（x）＝x3－12x；
（2）f（x）＝.
11．已知f（x）＝x3＋mx2－2m2x－4（m为常数，且m>0）有极大值－，求m的值．
12．设a为实数，函数f（x）＝x3－x2－x＋a.
（1）求f（x）的极值；
（2）当a在什么范围内取值时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点？
三、探究与拓展
13．已知函数f（x）＝（x2＋ax－2a2＋3a）ex（x∈R），其中a∈R.
（1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线的斜率；
（2）当a≠时，求函数f（x）的单调区间与极值．
答案
1．1
2．④
3．5
4．1 －3
5．3
6．9
7．③
8．9
9．110．解
（1）函数f（x）的定义域为R.
f′（x）＝3x2－12＝3（x＋2）（x－2）．
令f′（x）＝0，得x＝－2或x＝2.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－2）
－2
（－2,2）
2
（2，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗
从表中可以看出，当x＝－2时，函数f（x）有极大值，
且f（－2）＝（－2）3－12×（－2）＝16；
当x＝2时，函数f（x）有极小值，
且f
（2）＝23－12×2＝－16.
（2）函数的定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞）．
∵f′（x）＝，
令f′（x）＝0，
得x1＝－1，x2＝2.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－1）
－1
（－1,1）
1
（1,2）
2
（2，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
＋
0
＋
f（x）
↗
－
↘
↗
3
↗
故当x＝－1时，函数有极大值，
并且极大值为f（－1）＝－.
11．解 ∵f′（x）＝3x2＋mx－2m2＝（x＋m）（3x－2m），
令f′（x）＝0，则x＝－m或x＝m.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－m）
－m
m
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f（x）极大值＝f（－m）＝－m3＋m3＋2m3－4＝－，
∴m＝1.
12．解
（1）f′（x）＝3x2－2x－1.
令f′（x）＝0，则x＝－或x＝1.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－）
－
（－，1）
1
（1，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f（x）的极大值是f（－）＝＋a，
极小值是f
（1）＝a－1.
（2）函数f（x）＝x3－x2－x＋a＝（x－1）2（x＋1）＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，
有f（x）>0，x取足够小的负数时，有f（x）<0，
所以曲线y＝f（x）与x轴至少有一个交点．
由
（1）知f（x）极大值＝f（－）＝＋a，
f（x）极小值＝f
（1）＝a－1.
∵曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点，
∴f（x）极大值<0或f（x）极小值>0，
即＋a<0或a－1>0，
∴a<－或a>1，
∴当a∈（－∞，－）∪（1，＋∞）时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点．
13．解
（1）当a＝0时，f（x）＝x2ex，f′（x）＝（x2＋2x）ex，
故f′
（1）＝3e.
（2）f′（x）＝[x2＋（a＋2）x－2a2＋4a]ex.
令f′（x）＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
由a≠知，－2a≠a－2.
以下分两种情况讨论：
①若a>，则－2ax
（－∞，－2a）
－2a
（－2a，a－2）
a－2
（a－2，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f（x）在（－∞，－2a），（a－2，＋∞）内是增函数，在（－2a，a－2）内是减函数．
函数f（x）在x＝－2a处取得极大值f（－2a），
且f（－2a）＝3ae－2a.
函数f（x）在x＝a－2处取得极小值f（a－2），
且f（a－2）＝（4－3a）ea－2.
②若a<，则－2a>a－2.当x变化时，f′（x），
f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，a－2）
a－2
（a－2，－2a）
－2a
（－2a，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f（x）在（－∞，a－2），（－2a，＋∞）内是增函数，
在（a－2，－2a）内是减函数．
函数f（x）在x＝a－2处取得极大值f（a－2），
且f（a－2）＝（4－3a）ea－2.
函数f（x）在x＝－2a处取得极小值f（－2a），
且f（－2a）＝3ae－2a.
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