第三章 第13讲 二次函数综合题.docx

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第三章第13讲二次函数综合题

第13讲　二次函数综合题

1．（2019·烟台）如图1，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A（－4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y＝kx＋分别与y轴及抛物线交于点C，D.

（1）求直线和抛物线的表达式；

（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？

请直接写出所有满足条件的t的值；

（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM＋MN的值最小？

若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

图1　图2

解：

（1）把A（－4，0），B（1，0）代入y＝ax2＋2x＋c，得解得

∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－.

∵直线y＝kx＋过点B，

∴将B（1，0）代入y＝kx＋，得k＝－，

∴直线BD的解析式为y＝－x＋.

（2）t的值为或或.

（3）存在．

由题意知，直线EF的解析式为y＝－x－，抛物线的对称轴为直线x＝－.

在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线的对称轴于点M，

图2

过点N作NH⊥DD′于点H，此时，DM＋MN＝D′N最小，此时，△EOF∽△NHD′.

设点N的坐标为（a，－a－），

∴＝，即＝，

解得a＝－2，

则N点坐标为（－2，－2）．

由D′（2，4），N（－2，－2）可求得直线ND′的解析式为y＝x＋1.

当x＝－时，y＝－，

∴M点坐标为（－，－），

此时，DM＋MN的最小值为＝＝2.

2．（2019·衡阳）如图，已知直线y＝－2x＋4分别交x轴，y轴于点A，B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D.

（1）若抛物线的解析式为y＝－2x2＋2x＋4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N.

①求点M，N的坐标；

②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？

并说明理由；

（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B，P，D为顶点的三角形与△AOB相似？

若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

解：

（1）①如解图1.

图1

∵y＝－2x2＋2x＋4＝－2（x－）2＋，

∴顶点M的坐标为（，）．

当x＝时，y＝－2×＋4＝3，则点N的坐标为（，3）；

②不存在．

理由如下：

MN＝－3＝，

设P点的坐标为（m，－2m＋4），则D（m，－2m2＋2m＋4），

∴PD＝－2m2＋2m＋4－（－2m＋4）＝－2m2＋4m.

∵PD∥MN，

∴当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，即－2m2＋4m＝，

解得m1＝（舍去），m2＝，

此时P点的坐标为（，1）．

∵PN＝＝，

∴PN≠MN，

∴平行四边形MNPD不为菱形，

∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形．

（2）存在．

如解图2，OB＝4，OA＝2，则AB＝＝2，

图2

当x＝1时，y＝－2x＋4＝2，则P（1，2），

∴PB＝＝.

设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋4，

把A（2，0）代入，得4a＋2b＋4＝0，解得b＝－2a－2，

∴抛物线的解析式为y＝ax2－2（a＋1）x＋4.

当x＝1时，y＝ax2－2（a＋1）x＋4＝a－2a－2＋4＝2－a，则D（1，2－a），

∴PD＝2－a－2＝－a.

∵DC∥OB，

∴∠DPB＝∠OBA.

①当∠AOB＝∠BDP＝90°时，＝，△PDB∽△BOA，即＝，解得a＝－2，

此时抛物线的解析式为y＝－2x2＋2x＋4；

②当∠AOB＝∠DBP＝90°时，＝，△PDB∽△BAO，即＝，解得a＝－，

此时抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4.

综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y＝－2x2＋2x＋4或y＝－x2＋3x＋4.

3．（2019·怀化）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；

（3）试探究：

在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？

若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

备用图

解：

（1）设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x－3），

即y＝ax2－2ax－3a，

∴－2a＝2，解得a＝－1，

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.

当x＝0时，y＝－x2＋2x＋3＝3，则C（0，3）．

设直线AC的解析式为y＝px＋q，

把A（－1，0），C（0，3）代入，得

解得

∴直线AC的解析式为y＝3x＋3.

（2）∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，

∴顶点D的坐标为（1，4）．

作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于点M，如解图1，则B′（－3，0）．

图1图2

∵MB＝MB′，

∴MB＋MD＝MB′＋MD＝DB′，此时MB＋MD的值最小，而BD的值不变，

∴此时△BDM的周长最小．

由D（1，4），B′（－3，0）易得直线DB′的解析式为y＝x＋3.

当x＝0时，y＝x＋3＝3，

∴点M的坐标为（0，3）．

（3）存在．

①过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如解图2.

∵直线AC的解析式为y＝3x＋3，

∴直线PC的解析式可设为y＝－x＋b.

把C（0，3）代入，得b＝3，

∴直线PC的解析式为y＝－x＋3.

联立解得或则此时P点坐标为（，）．

②过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y＝－x＋b，

把A（－1，0）代入，得＋b＝0，解得b＝－，

∴直线PC的解析式为y＝－x－.

联立解得或则此时P点坐标为（，－）．

综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，－）．

4．（2019·扬州）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6）．点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．

图1　图2

（1）当t＝2时，线段PQ的中点坐标为________；

课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。

为什么?

还是没有彻底“记死”的缘故。

要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。

可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。

这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。

这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。

（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；

（3）当t＝1时，抛物线y＝x2＋bx＋c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示．则该抛物线上是否存在点D，使∠MQD＝∠MKQ？

若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．

解：

（1）（，2）．

（2）∵当点P与点A重合时运动停止，且此时以点P，A，Q为顶点的图形不能构成三角形，

∴0＜t＜3.

∵四边形OABC是矩形，

∴∠B＝∠PAQ＝90°.

当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：

①当△PAQ∽△QBC时，＝，

∴＝，

整理得4t2－15t＋9＝0，

解得t1＝3（舍去），t2＝.

②当△PAQ∽△CBQ时，＝，

∴＝，

整理得t2－9t＋9＝0，

解得t＝.

∵＞7，

∴t＝不符合题意，舍去，

∴t＝.

综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t的值是或.

（3）当t＝1时，P（1，0），Q（3，2），

把P（1，0），Q（3，）代入抛物线y＝x2＋bx＋c中，

得解得

∴抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2＝（x－）2－，

∴顶点K（，－）．

∵Q（3，2），M（0，2），

∴MQ∥x轴．

①当点D在点M的上方时，作抛物线的对称轴，交MQ于点E，如解图1，

∴KM＝KQ，KE⊥MQ，

∴∠MKE＝∠QKE＝∠MKQ，

∠MQD＝∠MKQ＝∠QKE.

设DQ交y轴于点H，

∵∠HMQ＝∠QEK＝90°，

∴△KEQ∽△QMH，

∴＝，即＝，

∴MH＝2，∴H（0，4）．

由H（0，4），Q（3，2），易得直线HQ的解析式为y＝－x＋4.

联立即x2－3x＋2＝－x＋4，

解得x1＝3（舍去），x2＝－，

∴D（－，）．

②同理，当点D在点M的下方时，y轴上存在点H，如解图2，使∠HQM＝∠MKQ.

一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：

“师者教人以不及，故谓师为师资也”。

这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。

《韩非子》也有云：

“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。

这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。

由对称性，得H（0，0）．

唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。

而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。

“教授”和“助教”均原为学官称谓。

前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。

“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。

唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。

至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。

至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。

由O（0，0），Q（3，2），易得直线OQ的解析式y＝x，

要练说，先练胆。

说话胆小是幼儿语言发展的障碍。

不少幼儿当众说话时显得胆怯：

有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。

总之，说话时外部表现不自然。

我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。

一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。

每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。

二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。

或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。

三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。

对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模仿。

长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提高。

联立即x2－3x＋2＝x，

解得x1＝3（舍去），x2＝，

∴D（，）．

综上所述，点D的坐标为D（－，）或（，）．