导数题型分析及经典例题.docx
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导数题型分析即经典例题
1.导数（导函数的简称）的定义：
设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.
注：
①是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零.
②以知函数定义域为，的定义域为，则与关系为.
例1、已知f（x）在x=a处可导，且f′（a）=b，求下列极限：
（1）；
（2）
2.函数在点处连续与点处可导的关系：
⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.
可以证明，如果在点处可导，那么点处连续.
事实上，令，则相当于.
于是
⑵如果点处连续，那么在点处可导，是不成立的.
例：
在点处连续，但在点处不可导，因为，当＞0时，；当＜0时，，故不存在.
注：
①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
例2、在处可导，则
3.导数的几何意义：
函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为
例3、已知函数y＝f（x），y＝g（x）的导函数的图象如图，那么y＝f（x），y＝g（x）的图象可能是（ ）
4.求导数的四则运算法则：
（为常数）
5.复合函数的求导法则：
或
6.函数单调性：
（1）函数单调性的判定方法：
设函数在某个区间内可导，如果＞0，则为增函数；如果＜0，则为减函数.
（2）凹凸函数判定：
的二阶导数大于0为凹函数，二阶导数小于0为凸函数。
利用导数确定函数的单调性的步骤：
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求出函数的导数；
（3）解不等式f¢（x）＞0，得函数的单调递增区间；
解不等式f¢（x）＜0，得函数的单调递减区间．
7.极值的判别方法：
（极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值，极小值同理）
当函数在点处连续时，
①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；
②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.
8.极值与最值的区别：
极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：
函数的极值点一定有意义.
例4、求函数在[0，2]上的最大值和最小值.
例5、设函数
（1）求导数;并证明有两个不同的极值点;
（2）若不等式成立，求的取值范围．
例6、求证：
在上是增函数。
例7、确定函数f（x）=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
9.几种常见的函数导数：
I.（为常数）
（）
II.
导数中的切线问题
例题1：
已知切点，求曲线的切线方程
曲线在点处的切线方程为（ ）
例题2：
已知斜率，求曲线的切线方程
与直线的平行的抛物线的切线方程是（ ）
例题3：
已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
求过曲线上的点的切线方程．
例题4：
已知过曲线外一点，求切线方程
求过点且与曲线相切的直线方程．
函数图象及其导函数图象
注：
解决此类题目主要是看导数的定义及几何意义！
不要是还要考虑导数的变化情况！
x
y
o
例1．已知函数的导函数的图象如右图，
则的图象可能是（）
o
y
x
x
o
y
x
o
y
x
o
y
A
B
C
D
例2.设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如下左图所示，则导函数y=f¢（x）的图象可能为（ ）
导数中的含参问题
例１.已知在区间上单调递减，求则的取值范围
小结：
一个重要结论：
设函数在内可导.若函数在内单调递增（减），则有.
方法1：
运用分离参数法，如参数可分离，则分离参数→构造函数（可将有意义的端点改为闭）→求的最值→得参数的范围。
方法2：
如参数不方便分离，而是二次函数，用根的分布：
①若的两根容易求，则求根，考虑根的位置
②若不确定有根或两根不容易求，一定要考虑△和有时还要考虑对称轴
例2.已知函数，常数．若在上为增函数，求的取值范围．
例3.已知向量，若函数在区间上是增函数，求t的取值范围.
证明问题
例1.求证时，
例2.（相减）
例3.（相除）
例4.已知：
，求证；
例5.已知：
，求证：
。
综合问题
例1.已知函数在处取得极值2.
（1）求函数的表达式；
（2）当满足什么条件时,函数在区间上单调递增？
例2.设函数有两个极值点，且
（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明：
例3.已知函数，讨论的单调性.
例4.设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．
例5.已知函数.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.学科网
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