导数常见题型归纳.doc

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导数常见题型归纳

一、常规应用与含参数的单调区间的讨论：

1.设函数

（1）求函数的单调区间；21世纪教育网

（2）若，求不等式的解集．

解：

（1）,由,得.

因为当时,；当时,；当时,；

所以的单调增区间是:

；单调减区间是:

.

小结：

此问是最基本的单调区间求解问题。

（2）由,

得：

.

故：

当时,解集是：

；

当时，解集是：

；

当时,解集是：

.21世纪教育网

2.设函数.

（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.

【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．

（Ⅰ）,

∵曲线在点处与直线相切，

∴

（Ⅱ）∵,

当时，，函数在上单调递增，

此时函数没有极值点.

当时，由，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

∴此时是的极大值点，是的极小值点

小结：

此题是针对根的大小讨论单调区间。

3.已知函数.

（Ｉ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.

解　（Ⅰ）由题设知.令.

当（i）a>0时，

若，则，所以在区间上是增函数；

若，则，所以在区间上是减函数；

若，则，所以在区间上是增函数；

（ii）当a＜0时，

若，则，所以在区间上是减函数；

若，则，所以在区间上是增函数；

若，则，所以在区间上是减函数.

（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，.

因为线段AB与x轴有公共点，所以.即

.所以.故.

解得　－1≤a＜0或3≤a≤4.即所求实数a的取值范围是[-1，0）∪[3，4].

[答案应为a≤-1或3≤a≤4.即所求实数a的取值范围是∪[3，4].]

小结：

1、此题

（1）问是针对根的大小讨论单调区间的，并且要注意参数正负对不等式解的影响。

2、此题

（2）问是利用极值点进行问题的转化的。

4.已知函数的图像过点（-1，-6），且函数的图像关于y轴对称。

（1）求m,n的值及函数的单调区间；

（2）若a>0，求函数在区间内的极值。

解：

（1）由函数图像过（-1，-6），得m-n=-3，

由，得：

而图像关于y轴对称，所以：

，即m=-3,所以n=0

由得：

所以，单调递增区间为，，递减区间为

（2）由，得：

x=0,x=2；

所以函数在区间内有：

当0

当1

当a≥3时，无极值。

小结：

此题第2问的解题关键是发现区间的长度刚好等于函数的两个极值点之间的距离，从而找到分类讨论的分类标准。

二、问题转化型：

5.设函数．

（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；

（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．

解：

（1）,

因为,,即恒成立,

所以,得，即的最大值为

（2）因为当时,;当时,;当时,;

所以当时,取极大值;

当时,取极小值;

故当或时,方程仅有一个实根.解得或.

小结：

此题把问题转化成利用函数的极值点进行解决。

6.已知函数

（1）若图象上的点处的切线斜率为-4，求的极大值。

（2）若在区间上是单调减函数，求a+b的最小值。

略解：

（1）易得a=-1,b=3

由解得

从而易用导数法求得极大值为

（2）此问可用根的分布理论解决。

由题意知的两根必需分布在区间外，从而由根的分布理论可得：

，进而由线性规划解得

小结：

此题转化为用线性规划求最值。

7.设，是函数的两个极值点，且

（1）若函数在点（0，0）处的切线与直线垂直，求a，b的值；

（2）求的取值范围.

解：

（1），

∵地的两个极值点，∴是的两个实根，又，

∴，.

∴，[通过分析符号关系进行形式转换是求解此问的关键]

∵，

∴，即，

又∵函数在点（0，0）处的切线与直线垂直，

∴，解得，∵，∴，.

（2）由

（1）知，可设，∴，∴，

∵

且由得，由得.

∴在上单调递增，在上单调递减.

∴，∴.

小结：

在第2问中使用了导数法求最值，从而求出了范围。

8.已知为偶函数，曲线过点，．

（Ⅰ）若曲线有斜率为0的切线，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若当时函数取得极值，确定的单调区间．

解:

（Ⅰ）为偶函数,故即有

解得

又曲线过点,得有

从而,曲线有斜率为0的切线，故有有实数解.即有实数解.此时有解得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

所以实数的取值范围:

（Ⅱ）因时函数取得极值,故有即,解得

又令,得

当时,,故在上为增函数

当时,,故在上为减函数

当时,,故在上为增函数

9.对于总有成立，则=。

【答案】4

解法一：

本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。

要使恒成立，只要在上恒成立。

当时，，所以，不符合题意，舍去。

当时，即单调递减，，舍去。

当时

①若时在和上单调递增，

在上单调递减。

所以

②当时在上单调递减，

，不符合题意，舍去。

综上可知a=4.

解法二：

本小题考查函数单调性的综合运用．

若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；当x＞0即时，≥0可化为，

设，则，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；

当x＜0即时，≥0可化为，

在区间上单调递增，因此，从而≤4，综上＝4

【答案】4

三、其它非常规套路题，发散思考型：

已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=－1处取得最小值m－1（m）.设函数

（1）若曲线上的点P到点Q（0,2）的距离的最小值为,求m的值

（2）如何取值时,函数存在零点,并求出零点.

【解析】

（1）设，则；

又的图像与直线平行

又在取极小值，，

，；

，设为上任意一点，

则

；21世纪教育网

（2）由，

得

当时，方程有一解，函数有一零点；

当时，方程有二解，若，，

函数有两个零点；若，

，函数有两个零点；

当时，方程有一解,,函数有一零点21世纪教育网

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