导数双变量专题.docx

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导数-双变量问题

1.构造函数利用单调性证明

2.任意性与存在性问题

3.整体换元—双变单

4.极值点偏移

5.赋值法

构造函数利用单调性证明

形式如：

方法：

将相同变量移到一边，构造函数

1.已知函数对任意，不等式恒成立，试求m的取值范围。

2.已知函数.设,如果对,有,求实数的取值范围.

3.已知函数区间内任取两个实数，且时，若不等式恒成立，求实数的取值范围。

4.已知函数．是否存在实数，对任意的

，且，有，恒成立，若存在求出的取值范围，若不存在，说明理由．

练习1：

已知函数,若,且对任意的，都有,求实数的取值范围．

练习2.设函数.若对任意恒成立，

求的取值范围.

5.已知函数

（1）讨论函数的单调性

（2）证明：

若，则对任意的，且，有恒成立

6.设函数

（1）证明：

在单调递减，在单调递增；

（2）若对于任意，都有，求的取值范围。

任意与存在性问题

1.已知函数，，其中．

（1）若函数在上的图像恒在的上方，求实数的取值范围．

（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，

求实数的取值范围．

2.已知函数，

（1）讨论方程（为常数）的实根的个数。

（2）若对任意，恒有成立，求的取值范围。

（3）若对任意，恒有成立，求的取值范围。

（4）若对任意，存在，恒有成立，求的取值范围。

整体换元——双变单

1.已知函数

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当时，设斜率为的直线与函数相交于两点

，求证：

．

练习1.已知函数，如果

在其定义域上是增函数，且存在零点（的导函数）．

（I）求的值；

（II）设是函数的图象上两点，

练习2.已知函数，；

（1）已知，，求的单调区间；

（2）已知，若，，求证：

练习3.已知函数，设，比较与的大小，并说明理由。

2.已知函数有且只有一个零点，其中a＞0.

（Ⅰ）求a的值；

（II）设，对任意，证明：

不等式恒成立.

3.已知在内有两个零点，求证：

。

练习.已知函数f（x）＝lnx－mx（mR），若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：

x1x2＞e2．

4.已知函数

（1）若对任意的恒成立，求的取值范围

（2）当时，设函数，若，求证：

。

对称轴问题的证明

1.已知函数．

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称．证明：

当时，；

（3）如果，且，证明：

2.已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2），证明:

当时，

（3）若对任意，且当时，有，求的取值范围.

练习.已知函数．

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）如果，且，证明：

赋值法

1.已知函数，其中为有理数，且

（1）求的最小值；

（2）试用

（1）的结果证明：

若为正有理数，若，则

（3）将

（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明。

2.已知函数；

（1）证明：

恒成立

（2）若正数满足，证明：

对于任意正数，都有

（3）若正数满足，试类比

（2）的结论，写出一个正确的结论，并证明。