线性变换练习题Word下载.docx
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已知n阶方阵A满足A2A，则A的特征值为。
已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3,则|A|。
设为数域P上的线性空间V的线性变换,若是单射,则1（0）=
设三阶方阵A的特征值为1,2,-2,则|2A|=
在P[x]n中，线性变换D（f（x））f'
（x），则D在基1,2x,3x2,L,nxn1下的矩阵为。
a11
a12
a13
已知线性变换在基1,2,3下的矩阵为a21
a22
a23，则
在基
2,
3,1下的矩
a31
a32
a33
阵为。
设P上三维列向量空间V的线性变换在基1,
3下的矩阵是
1，则
在基2,1,3下的矩阵是
2的矩阵为11，线性变换在基
201
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
矩阵为
22.若线性变换在基
1,2,3下的矩阵为0
1，则在基3,2,1下的矩阵为
。
23.若APnn，且A2
E，则A的特征值为
选择题
列哪种变换一定是向量空间
A．fx
C．fx
当n阶矩阵A适合条件（A．
C．
A．设
A．
Fxn的线性变换（
B．
fx
fxdx
D．
）。
A有n个不同的特征向量A有n个不同的特征值
2，则的所有特征值为（
2B．0，2
是3维向量空间上的变换，下列
333
x1,x2,x3=x1,x2,x3
时，它必相似于对角阵。
A是三角矩阵
A是可逆矩阵
是向量空间V上的线性变换，且
x1,x2,x3=cosx1,sinx2,0
设
C．0
中是线性变换的是（
D．0，2，1
B．x1,x2,x3=2x1x2,x2x3,x3
D．x1,x2,x3=x1,0,0
L,r是向量空间V的线性相关的向量组，L,r在
A．线性无关
是V的一个线性变换，则向量组
n阶方阵A有n
A．充要条件
下的像
（1）,
（2）,L,（r）（B．线性相关C．线性相关性不确定
个不同的特征值是A可以对角化的（
C．必要而非充分条件
，则的特征值（
A．只有1
B．只有
充分而非必要条件
既非充分也非必要条件
D．全是零向量
间V的线性变换且
C．有1和
D．有0和
如果方阵A与对角阵
相似，则A10=（
A.E
B.A
C.
E
阶单位矩阵，
则（
A．EA
B
C．A与B相似于同一个对角矩阵
D.10E
设A、B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n
B．A与B有相同的特征向量和特征值
D．AB
设4级矩阵A与B相似，
B的特征值是1，2，3，4，则A的行列式是（
A．-24
B．10C．24D．不能确定
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
A.
是单射
Ker（）
{0}
B.是满射Im（）V
是双射
D.是双射是单位映射
设A为3阶矩阵,且A
E,A
E,A2E均不可逆,则错误的是（
）
设是n维线性空间V的线性变换,那么下列说法错误的是（
n维线性空间V的线性变换可以对角化的充要条件是（）。
A.A不相似于对角阵
B.A可逆
C.|A
E|
D.|A
E|0
设A为3阶矩阵,且其特征多项式为f（）
（1）（
1）（
2）,则错误的是（
A.A相似于对角阵
B.A不可逆
n维线性空间V的线性变换可以对角化的充要条件是（）。
A.0B.1C.2D.3
x1,x2,x3=cosx1,sinx2,sinx3
x1,x2,x3=x12,x2,0
L（V），则下列各式成立的是（
dimImdimKernB.Im
Ker
V
ImKerVD.Im
IKer
f1（x）2x2，
f2（x）
x，
f3（x）
1xx2
（）求在已知基下的矩阵；
（2）设f（x）12x3x2，求
f（x）。
2.设是二维列向量空间P2的线性变换
：
设x
x1
P2，
11定义xx。
x2
11
1）求值域
P2的基与维数；
（2）求核
1（0）的基与维数。
三、计算题
111
3.设线性变换在基1,2,3下的矩阵是A222
111
（1）求矩阵A以及线性变换的特征值与特征向量；
（2）判断是否可以对角化（即线性变换
是否在某组基下的矩阵为对角形），若
不能对角化，说明理由；
若可以对角化，
求可逆阵
T，使T
1AT为对角形。
4.令R3表示实数域R上的三元列向量空间，令
A1
1，若
R3，作变换
（）A。
1）证明为R3上的线性变换；
（2）求ker（）及其维数；
（3）求Im（）及其维数。
5.设矩阵
A0
0，
（1）
求A的特征值和特征向量；
（2）
求可逆矩阵
P，使P1AP为对角矩阵。
6.令R3表示实数域R上的三元列向量空间，
1，1
0，2
1）
若1
12,2
23,331，证明1,2,3为R的一组基；
2）
求1,2
3到1,2,
3的过渡矩阵；
3）
若
（）A，证明为R3上的线性变换；
4）
求ker（
）及其维数；
5）
求Im（
）及其维数。
是R3的线性变换,（x1,x2,x3）（x12x2x3,x2x3,x1x22x3）。
（2）求Im（）及其维数。
可逆阵T，使T1AT为对角形矩阵。
00
61
112
11.设三维线性空间V的线性变换在基1,2,3下的矩阵为A011
101
12.设R[x]3表示实数域上的次数小于
1）求的值域及其维数；
（2）求的核及其维数。
f1（x）
1x，f2（x）1
f3（x）x
2x2是R[x]3的一组基，线性变换
满足
x2，f2（x）
f3（x）1
2xx
求
在已知基下的矩阵；
设f（x）12x
3x2
，求f（x）。
给定
P3
的两组基
（1,0,1）,2
（2,1,0）,
（1,1,1）；
1
（1,2,1）,
2（2,2,1）,3（2,1
1）。
定义线性变换
i
i,i1,2,3。
写出由基1,2,3
到基
1,2,3的过渡矩阵；
写出
在基1,2,
3下的矩阵；
3下的矩阵。
设线性变
换
3下的矩阵是A
2,求可逆矩阵
T,使得
6
3的多项式，再添上零多项式构成的线性空间，而
T1AT为对角形矩阵。
101
15.设A020。
（1）求A的全部特征值；
（2）求A的属于每个特征值的特征向量；
（3）求一个可逆矩阵X，使X1AX为对角形。
122
16.设
L（V），且在V的基1,2,3下的矩阵A=224
问
242
是否可以对角化
（2）若
能对角化，求出V的一个基，使在此基下的矩阵为对角矩阵。
17.设数域
P上三维线性空间V的线性变换在基1,2,3下的矩阵A
5
1）求在基1212,22123，3123下的矩
阵；
2）设1223，求在基1,2,3下的坐标。
四、证明题
2,L
变子空间。
4.设W1,W2是向量空间V的两个子空间，是V的一个线性变换，证明：
若W1,W2都是
的不变子空间，则W1W2也是的不变子空间。
5.设是向量空间V的一个线性变换，W1,W2都是的不变子空间。
证明：
W1W2也是的不变子空间。
6.证明：
线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关。
7.设是数域P上的n维线性空间V的线性变换,且2E（恒等变换）。
（1）证明:
的特征值只能为1或-1；
（2）用V1,V1分别表示的属于特征值1和1的特征子空间,证明:
VV1V1。
8.设为数域P上的n维线性空间V的线性变换。
证明:
dimImdimKern。
9.设,L（P[x]），且f（x）P[x],（f（x））f（x）,（f（x））xf（x）.证明I.其中I为恒等变换。
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