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1、已知 n 阶方阵 A 满足 A2 A，则 A的特征值为 。已知 3 阶矩阵 A的特征值为 1,2,3,则 |A| 。设 为数域 P 上的线性空间 V 的线性变换 ,若 是单射 ,则 1（0） =设三阶方阵 A的特征值为 1,2,-2,则| 2A | =在Pxn中，线性变换 D（ f（x） ） f （x），则 D在基 1,2x,3x2,L ,nxn 1下的矩阵 为。a11a12a13已知线性变换 在基 1, 2, 3 下的矩阵为 a21a22a23 ，则在基2,3, 1 下的矩a31a32a33阵为 。设 P 上三维列向量空间 V 的线性变换 在基 1,3下的矩阵是1 ，则在基 2, 1, 3

2、下的矩阵是2 的矩阵为 1 1 ，线性变换 在基2 0 111.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.矩阵为22. 若线性变换 在基1, 2, 3 下的矩阵为 01 ，则 在基 3, 2, 1 下的矩阵为。23. 若 A Pn n ，且 A2E ，则 A的特征值为选择题列哪种变换一定是向量空间A f xC f x当 n 阶矩阵 A 适合条件（ ACA 设AF x n 的线性变换（Bfxf x dxD）。A有n 个不同的特征向量 A有 n 个不同的特征值2 ，则 的所有特征值为（2 B 0，2是3 维向量空间上的变换，下列333x1,x2,x3 = x1 , x2, x3时

3、，它必相似于对角阵。A是三角矩阵A是可逆矩阵是向 量空 间 V 上的线 性变 换， 且x1,x2,x3 = cos x1 , sin x2 ,0设C0中是线性变换的是（D0， 2，1B x1,x2,x3 = 2x1 x2,x2 x3,x3D x1 ,x2, x3 = x1 ,0,0L , r 是向量空间 V 的线性相关的向量组， L , r 在A线性无关是V 的一个线性变换， 则向量组n 阶方阵 A 有 nA充要条件下的像 （ 1）, （ 2）,L , （ r） （ B线性相关 C线性相关性不确定个不同的特征值是 A 可以对角化的（C必要而非充分条件，则 的特征值（A只有 1B只有充分而非必要

4、条件既非充分也非必要条件D全是零向量间 V 的 线性 变换 且C有 1 和D有 0 和如果方阵 A 与对角阵相似，则 A10 =（A. EB. AC.E阶单位矩阵，则（A E ABC A与 B 相似于同一个对角矩阵D. 10E设 A、B 为n阶矩阵，且 A与B相似，E为 nB A与 B 有相同的特征向量和特征值D A B设 4 级矩阵 A 与 B 相似，B 的特征值是 1， 2，3， 4，则 A 的行列式是（A-24B10 C 24 D不能确定1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.A.是单射Ker（ ）0B. 是满射 Im（ ） V是双射D. 是双射 是单位映射设 A 为 3 阶矩阵 ,

5、且 AE,AE,A 2E均不可逆 ,则错误的是（）设 是 n 维线性空间 V 的线性变换 ,那么下列说法错误的是（n 维线性空间 V 的线性变换 可以对角化的充要条件是（ ）。A. A不相似于对角阵B. A 可逆C. | AE|D. | AE | 0设 A 为 3 阶矩阵 ,且其特征多项式为 f（ ）（ 1）（1）（2） ,则错误的是（A. A相似于对角阵B. A 不可逆n 维线性空间 V 的线性变换可以对角化的充要条件是（ ）。A. 0 B. 1 C. 2 D. 3x1,x2,x3 = cos x1,sin x2,sin x3x1,x2,x3 = x12,x2,0L（V ） ，则下列各式成立

6、的是（dimIm dim Ker n B.ImKerVIm Ker V D.ImI Kerf1（ x） 2 x2，f2（x）x，f3（ x）1 x x2（）求 在已知基下的矩阵；（2）设 f （x） 1 2x 3x2 ，求f （ x） 。2. 设 是二维列向量空间 P2 的线性变换：设 xx1P2，11 定义 x x 。x2111） 求值域P2 的基与维数； （2）求核1（0） 的基与维数。三、计算题1 1 13. 设线性变换 在基 1, 2, 3 下的矩阵是 A 2 2 21 1 1 （1） 求矩阵 A 以及线性变换 的特征值与特征向量；（ 2） 判断 是否可以对角化 （即线性变换是否在某组

7、基下的矩阵为对角形） ，若不能对角化，说明理由；若可以对角化，求可逆阵T ，使 T1AT 为对角形。4. 令 R3表示实数域 R 上的三元列向量空间，令A11 ，若R3 ，作变换（ ） A 。1） 证明 为 R3上的线性变换； （ 2）求 ker（ ）及其维数；（ 3）求 Im（ ） 及其维数。5. 设矩阵A00，（1）求 A 的特征值和特征向量；（2）求可逆矩阵P ，使 P 1 AP 为对角矩阵。6. 令 R3表示实数域 R 上的三元列向量空间，1，10 ， 21）若11 2 , 22 3, 3 3 1 ，证明 1, 2, 3 为 R 的一组基；2）求 1 , 2, 3 到 1, 2 ,3

8、的过渡矩阵；3）若（ ） A ，证明 为R3上的线性变换；4）求 ker（） 及其维数；5）求 Im（） 及其维数。是 R3的线性变换 , （x1, x2,x3） （x1 2x2 x3,x2 x3, x1 x2 2x3）。（2）求 Im（ ） 及其维数。可逆阵 T ，使 T 1AT 为对角形矩阵。006111211. 设三维线性空间 V 的线性变换 在基 1, 2, 3 下的矩阵为 A 0 1 11 0 112. 设 Rx3 表示实数域上的次数小于1）求 的值域及其维数； （ 2）求 的核及其维数。f1（x）1 x ， f2（x） 1f3（x） x2x2是 R x3的一组基，线性变换满足x2

9、， f2（x）f3（x） 12 xx求在已知基下的矩阵；设 f（x） 1 2x3x2，求 f （x） 。给定P3的两组基（1,0,1）, 2（2,1,0）,（1,1,1） ； 1（1,2, 1）,2 （2,2, 1）, 3 （2, 11）。定义线性变换ii ,i 1,2,3 。写出由基 1, 2, 3到基1, 2, 3 的过渡矩阵；写出在基 1, 2,3 下的矩阵；3 下的矩阵。设线性变换3 下的矩阵是 A2 , 求可逆矩阵T , 使得63 的多项式，再添上零多项式构成的线性空间，而T 1AT 为对角形矩阵。10115. 设 A 0 2 0 。（ 1）求 A 的全部特征值； （ 2）求 A的属

10、于每个特征值的特征向量；（3）求一个可逆矩阵 X ，使 X 1AX 为对角形。1 2 216. 设L（V），且 在V 的基 1, 2, 3下的矩阵 A= 2 2 4问2 4 2是否可以对角化（2） 若能对角化，求出 V 的一个基，使 在此基下的矩阵为对角矩阵。17. 设数域P上三维线性空间 V的线性变换 在基 1, 2, 3 下的矩阵 A51 ） 求 在基 1 2 1 2 , 2 2 1 2 3 ， 3 1 2 3 下的矩阵；2） 设 1 2 2 3 ，求 在基 1, 2, 3下的坐标。四、证明题2 ,L变子空间。4.设W1,W2是向量空间 V的两个子空间， 是V的一个线性变换， 证明：若W1

11、,W2都是的不变子空间，则 W1 W2 也是 的不变子空间。5.设 是向量空间 V 的一个线性变换， W1,W2都是 的不变子空间。证明： W1 W2 也 是 的不变子空间。6.证明：线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关。7.设 是数域 P上的n维线性空间 V的线性变换 ,且 2 E （恒等变换）。（1） 证明 : 的特征值只能为 1 或-1；（2） 用V1,V 1分别表示 的属于特征值 1和 1的特征子空间 ,证明:V V1 V1。8. 设 为数域 P 上的 n 维线性空间 V 的线性变换。证明 : dim Im dim Ker n 。 9. 设 , L（Px） ， 且 f（x） Px , （f（x） f （x）, （f（x） xf（x） .证 明 I .其中 I 为恒等变换。