学而思高中数学8-函数的概念.doc
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学而思教育
板块一.函数的概念
典例分析
题型一函数的定义
【例1】判断以下是否是函数：
⑴；⑵；⑶；⑷．
【例2】函数的图象与直线的公共点数目是（）
A．B．C．或D．或
【例3】如图所示，能表示“是的函数”的是．
【例4】如下图
（1）
（2）（3）（4）四个图象各表示两个变量的对应关系，其中表示是的函数关系的有．
【例5】给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的
函数关系的有（）
A、0个B、1个C、2个D、3个
x
x
x
x
1
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
y
y
y
y
3
O
O
O
O
【例6】以下给出的对应是不是从集合到集合的映射？
如果是映射，是不是一一映射．
⑴集合是数轴上的点，集合，对应关系：
数轴上的点与它所代表的实数对应；
⑵集合是平面直角坐标系中的点，集合，对应关系：
平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
⑶集合是三角形，集合是圆，对应关系：
每一个三角形都对应它的内切圆；
⑷集合是华星中学的班级，集合是华星中学的学生，对应关系：
每一个班级都对应班里的学生．
【例7】下列对应中有几个是映射？
【例8】已知，，则从到的不同映射共有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【例9】设是集合A到B的映射，下列说法正确的是（）
A、A中每一个元素在B中必有象B、B中每一个元素在A中必有原象
C、B中每一个元素在A中的原象是唯一的D、B是A中所在元素的象的集合
【例10】⑴若集合，，：
A→B表示A到B的一个映射，且满足对任意都有为偶数，则这样的映射有_______个．
⑵设是从集合A到B的映射，，
，若B中元素在映射f下的原象是，
则k，b的值分别为________．
【例11】已知集合，，下列从A到B的对应不是映射的是（）
A．B．
C．D．
【例12】集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A到B的映射个数是__________，从B到A的映射个数是__________.
【例13】已知集合，且使中元素和中的元素对应，则的值分别为（）
A．B．C．D．
【例14】（09年山东梁山）设f、g都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下）：
映射f的对应法则是表1
原象
1
2
3
4
象
3
4
2
1
映射g的对应法则是表2
原象
1
2
3
4
象
4
3
1
2
则与相同的是（）
A．；B．；C．；D．
【例15】（07年北京）已知函数，分别由下表给出
1
2
3
1
3
1
1
2
3
3
2
1
则的值为 ；满足的的值是
【例16】（06陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：
明文对应密文例如，明文对应密文当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（）
A．；B．；C．；D．
【例17】已知，规定到的一个映射为=，
⑴如果，求；
⑵如果，求；
⑶如果，求．
题型二函数的定义域
【例18】求下列函数的定义域
（1）；
（2）；（3）.
【例19】求下列函数的定义域：
（1）；
（2）.
【例20】函数的自变量的取值范围是（）
A．B．C．D．且
【例21】函数的定义域．
【例22】函数的定义域是___________．
【例23】求函数的定义域．
【例24】（2008年全国I卷文理）函数的定义域是（）
A．B．C．D．
【例25】求下列函数的定义域⑴；⑵；⑶．
【例26】若的定义域是，求的定义域．
【例27】已知函数定义域是，则的定义域是（）
A．B．C．D．
【例28】
（1）已知已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）
A．a＞ B．－12＜a≤0 C．－12＜a＜0 D．a≤
【例29】
（1）求下列函数的定义域：
的定义域．
（2）已知函数的定义域是，求函数的定义域．
【例30】
（1）函数的定义域为,求函数的定义域;
（2）已知函数的定义域为,求的定义域;
（3）已知函数的定义域为,求的定义域.
【例31】求下述函数的定义域：
（1）；
（2）
【例32】已知函数定义域为（0，2），求下列函数的定义域：
（1）；
（2）。
题型三函数的值域
一、用非负数的性质
【例33】求下列函数的值域：
（1）y=-3x2+2;
（2）y=5+2（x≥-1）.
【例34】函数的最小值是_________________．
【例35】求函数的值域．
二、分离常数法
对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．
【例36】求下列函数的值域：
（1）y=
（2）y=.
三、利用函数单调性
已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法．
【例37】求函数y=3x-的值域.
四、利用判别式
特殊地，对于可以化为关于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0的函数y=f（x），可利用．
【例38】求函数y=的最值．
【例39】利用判别式方法求函数的值域．
五、利用数形结合
数形结合是解数学问题的重要思想方法之一，求函数值域时其运用也不例外．
【例40】若（x+）（y-）=0,求x-y的最大、最小值．
六、利用换元法求值域
有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑．
【例41】求函数y=2x-5+的值域．
七、利用反解函数求值域
因函数y=f（x）的值域就是反函数y=f-1（x）的定义域，故某些时候可用此法求反函数的值域．
【例42】求函数y=（x＞0）的值域．
八、利用已知函数的有界性．
【例43】求函数y=的值域.
九、求值域综合性题目．
【例44】求下列函数的值域：
⑴⑵⑶．
【例45】求下列函数的值域：
（1）；
（2）；（3）．
【例46】求下列函数的值域⑴；⑵．
【例47】求下列函数的值域：
（1）；
（2）；
（3）；（4）；
【例48】求下列函数的定义域与值域：
（1）；
（2）.
【例49】求下列函数的值域
⑴；⑵，；
⑶；⑷．
【例50】求下列函数的值域：
（1）；
（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）；
（7）；（8）；（9）。
十、应用值域去未知系数取值范围．
【例51】设函数，若，则实数的取值范围是．
【例52】函数的值域是（）
A．B．C．D．
【例53】已知函数在区间[1，1]上的最小值为3，求实数的值．
【例54】已知函数f（x）=x2+mx–4在区间〔2，4〕上的两个端点取得最大的最小值。
（1）求m的取值范围；
（2）试写出最大值Y为m的函数关糸式;
（3）最大值Y是否存在最小值?
若有，请求出来；若无，请说明理由。
【例55】若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为、值域为{1,4}的“同族函数”共有个.
【例56】已知函数
⑴求函数的定义域；
⑵求，的值；
⑶当时，求，的值．
【例57】已知函数，若，试求函数的值域.
【例58】已知xy＜0，并且4x-9y=36．由此能否确定一个函数关系y=f（x）？
如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．
【例59】函数的定义域为，值域为，
则满足条件的实数组成的集合是．
【例60】若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【例61】当时，函数取得最小值．
【例62】设函数，当时，的值有正有负，则实数的范围．
【例63】对于任意实数，函数恒为正值，求的取值范围．
【例64】记二次函数在的最大值为，写出的函数表达式，并求出的最小值．
题型三相等函数
【例65】试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f（x）=，g（x）=；
（2）f（x）=，g（x）=
（3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）；
（4）f（x）=，g（x）=；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1
【例66】下列各组函数中，与表示同一函数的一组是（ ）
A． B．，
C．， D．
【例67】判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）
⑴，；
⑵，；
⑶，；
⑷，；
⑸，．
A．⑴、⑵B．⑵、⑶C．⑷D．⑶、⑸
板块一.函数的概念
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