基本初等函数(Ⅰ).docx

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§2.5　基本初等函数（Ⅰ）

考点梳理

（一）指数函数

1．根式

（1）n次方根：

如果xn＝a，那么x叫做a的，其中n＞1，且n∈N*.

注：

负数没有偶次方根．

（2）根式的性质：

n为奇数时，＝；

n为偶数时，＝.

2．幂的有关概念及运算

（1）零指数幂：

a0＝.（a≠0.）

（2）负整数指数幂：

a－n＝（a≠0，n∈N*）．

（3）正分数指数幂：

a＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）．

（4）有理指数幂的运算性质

3．指数函数的图象及性质

定义

一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数

图

象

a＞1

0＜a＜1

定义域

__________

值域

__________

性

质

过定点__________

在R上是______

在R上是_____

（二）对数函数

1．对数

（1）对数：

如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的_______，记作x＝_______.其中a叫做对数的_______，N叫做_______．

（2）两类重要的对数

①常用对数：

以_______为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作_______；

②自然对数：

以_______为底的对数称为自然对数，并把logeN记作_______．

注：

无理数e＝2.71828…；

（3）对数与指数之间的关系

当a＞0，a≠1时，ax＝N_______x＝logaN.

（4）对数运算的性质

如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：

①loga（MN）＝___________；

②loga＝______________；

③logaMn＝_____________；

一般地，＝_______；

（5）换底公式及对数恒等式

①对数恒等式：

＝_______；loga1＝_______，logaa＝_______.

②换底公式：

logab＝_______（a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0）．特别地，logab＝

2．对数函数的图象及性质

定义

一般地，函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数

图

象

a＞1

0＜a＜1

定义域

____________

值域

____________

性质

过定点________

在（0，＋∞）上是_____

在（0，＋∞）上是_____

3.对数函数与指数函数的关系

对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）与指数函数y＝ax（a>0且a≠1）互为反函数；它们的图象关于直线________对称．

（三）幂函数

1．幂函数的定义

一般地，函数________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

2．几个常用的幂函数的图象与性质

定义

幂函数y＝xα（α∈R）

图

象

α＞0

α＜0

性

质

（1）图象过点_______

图象过点_______

（2）在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在（0，＋∞）上是_______

在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在（0，＋∞）上是_______

※（3）在第一象限内，当α＞1时，图象下凸；当0＜α＜1时，图象上凸

※在第一象限内，图象都下凸

※（4）形如y＝x或y＝x－（m，n为互质的正整数）类型函数的奇偶性判断：

当m，n都为奇数时，幂函数在定义域上为奇函数；当m为奇数，n为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当m为偶数，n为奇数时，幂函数在定义域上为偶函数.

自查自纠：

（一）

1．

（1）n次方根　

（2）a　|a|

2．

（1）1　　

（2）　（3）　　（4）ar＋s　ars　arbr

3．R　（0，＋∞）　（0，1）　增函数　减函数

（二）

1．

（1）对数　logaN　底数　真数

（2）①10　lgN　②e　lnN　（iii）0　1

（3）⇔

（4）①logaM＋logaN　②logaM－logaN　

③nlogaM　logaM

（5）①N　，0,1.②

2．（0，＋∞）　R　（1，0）　增函数　减函数

3．y＝x

（三）

1．y＝xα

2．

（1）（0，0）和（1，1）　（1，1）　

（2）增函数　减函数

典型例题讲练

类型一　指数幂和对数的运算

例题1　（）化简下列各式：

（1）[（0.064）－2.5]－－π0；

.

解：

（1）原式＝－－1

＝－－1

＝－－1

＝0.

（2）计算log535＋2log－log5－log514的值．

解：

原式＝log5＋2log2＝log553－1＝2.

变式1（2016浙江理12）已知a>b>1.若logab+logba=，ab=ba，则a=，b=.

【答案】，

（2015浙江理12）若，则．

【答案】.

类型二　指数和对数函数的图象及其应用

例题2　

（1）已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系：

①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b＝0.其中不可能成立的关系有（　　）

A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个

解：

作出函数y＝与y＝的图象，然后作直线y＝m，y＝n（0＜m＜1＜n）．

我们很容易得到a

（2）（）已知函数f（x）＝|log2x|，0＜m＜n，且f（m）＝f（n），若函数f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则m2＝（　　）

A. B. C. D.

解：

作出函数f（x）＝|log2x|的图象如图．

由题意可得0＜m＜1＜n，∴0＜m2＜m，结合图象可知函数f（x）在[m2，n]上的最大值为f（m2），则有－log2m2＝2，m2＝2－2＝.故选A.

类型三　指数和对数函数的综合问题

例题3　

（1）（）设函数f（x）＝

（1）若a＝1，则f（x）的最小值为________；

（2）若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．

解：

（1）a＝1时，

f（x）＝

当x＜1时，f（x）∈（－1，1），f（x）无最小值；当x≥1时，f（x）在为减函数，在为增函数，当x＝时，f（x）取得最小值为－1.

（2）①若函数g（x）＝2x－a在x<1时与x轴有一个交点，则a>0，并且当x＝1时，g

（1）＝2－a>0，则0

②若函数g（x）＝2x－a与x轴有无交点，则函数h（x）＝4（x－a）（x－2a）与x轴有两个交点．当a≤0时，g（x）与x轴无交点，h（x）＝4（x－a）（x－2a）在[1，＋∞）与x轴也无交点，不合题意；当g

（1）＝2－a≤0时，a≥2，h（x）与x轴有两个交点，其横坐标为x＝a和x＝2a，由于a≥2，两交点横坐标均满足x≥1，符合题意．

综合①②可得a的取值范围为≤a<1或a≥2.

故填－1；∪[2，＋∞）．

（2）　已知函数f（x）＝2x－.

（1）若f（x）＝2，求x的值；

（2）若2tf（2t）＋mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

解：

（1）当x＜0时，f（x）＝0；当x≥0时，f（x）＝2x－.

由条件可知2x－＝2，即22x－2·2x－1＝0，解得2x＝1±.

∵2x＞0，∴2x＝1＋，即x＝log2（1＋）．

（2）当t∈[1，2]时，2t＋m≥0，

∵2t＞0，两边同乘以2t，即得m（22t－1）≥－（24t－1）．

∵22t－1＞0，∴m≥－（22t＋1）．

∵t∈[1，2]，∴－（1＋22t）∈[－17，－5]，

故m的取值范围是[－5，＋∞）．

（2）已知f（x）＝lg，f

（1）＝0，当x>0时，恒有f（x）－f＝lgx.

（1）求f（x）的解析式；

（2）若方程f（x）＝lg（m＋x）的解集是∅，求实数m的取值范围．

解：

（1）∵当x>0时，f（x）－f＝lgx恒成立，

∴lg－lg＝lgx，即（a－b）x2－（a－b）x＝0.

∵x≠0，∴上式若恒成立，则只能有a＝b，

又f

（1）＝0，即a＋b＝2，从而a＝b＝1，∴f（x）＝lg.

（2）由lg＝lg（m＋x）知

即

由于方程的解集为∅，故有如下两种情况：

①方程x2＋（m－1）x＋m＝0无解，即Δ<0，

解得3－2

②方程x2＋（m－1）x＋m＝0有解，两根均在区间[－1，0]内，令g（x）＝x2＋（m－1）x＋m，则有

即无解．

综合①②知，实数m的取值范围是{m|3－2

类型四　幂函数的图象与性质

例题4　如图，曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取2，3，，－1四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为．

解法一（数形结合法）：

如图，作直线x＝t（t>1），由于函数y＝xn的图象与直线x＝t的交点为（t，tn），可见指数n的大小与图象交点的“高低”是一致的，结合图象，可得答案．

解法二（特殊值法）：

当x＝2时，y1＝23＝8，y2＝22＝4，y3＝20.5＝，y4＝2－1＝，∵8>4＞＞，∴y1＞y2＞y3＞y4，故填3，2，，－1.

变式4　（）在下列直角坐标系的第一象限内分别画出了函数y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的部分图象，则函数y＝的图象通过的阴影区域是（　　）

解：

函数y＝的图象位于函数y＝x与y＝x2的图象之间，对比各选项中的阴影区域，知C正确．故选C.

方法规律总结

1．指数函数的图象、性质在应用时，如果底数a的取值范围不确定，则要对其进行分类讨论．

2．比较两个幂的大小，首先要分清是底数相同还是指数相同．如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可转化为底数相同，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象；如果指数不同，底数也不同，则要利用中间量．

3．熟练掌握指数式与对数式的互化，它不仅体现了两者之间的相互关系，而且为对数的计算、化简、证明等问题提供了更多的解题途径．

4．作指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）和对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象应分别抓住三个点，（0，1），（1，a）和，（1，0），（a，1）．

5．比较两个对数的大小的基本方法

（1）若底数为同一常数，则由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对这一字母进行分类讨论．

（2）若底数不同真数相同，则可先换底再进行比较．

（3）若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．

6．幂函数的图象特征与指数的大小关系，大都可通过幂函数的图象与直线x＝2或x＝的交点纵坐标的大小反映．一般地，在区间（0，1）上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴（简记为“指大、图低”），在区间（1，＋∞）上，幂函数中指数越大，图象越远离x轴（不包括幂函数y＝x0）．

7．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，则要看函数的定义域和奇偶性．函数的图象最多只能同时出现在两个象限内，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

8．判断一个函数是否为指数函数或对数函数或幂函数，一定要根据三种函数定义给出的“标准”形式．如f（x）＝2x2不是指数函数，而f（x）＝23x是指数函数，因为f（x）＝23x＝8x，此时a＝8，同样f（x）＝2x＋1也不是指数函数，因为f（x）＝2x＋1＝2·2x，不是f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）的形式．

课后作业

1．（）已知幂函数