基本初等函数(Ⅰ).docx

1、2.5基本初等函数()考点梳理(一)指数函数1根式(1)n次方根：如果xna，那么x叫做a的 ，其中n1，且nN*.注：负数没有偶次方根(2)根式的性质：n为奇数时， ；n为偶数时， .2幂的有关概念及运算(1)零指数幂：a0 .（a 0.）(2)负整数指数幂：an (a0，nN*)(3)正分数指数幂：a (a0，m，nN*，且n1) (4)有理指数幂的运算性质3指数函数的图象及性质定义一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数图象a10a1定义域_值域_性质过定点_在R上是_在R上是_(二)对数函数1对数(1)对数：如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a为底N的_，记作x_.其中a叫

2、做对数的_，N叫做_(2)两类重要的对数常用对数：以_为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作_；自然对数：以_为底的对数称为自然对数，并把logeN记作_注：无理数e2.718 28； (3)对数与指数之间的关系当a0，a1时，axN_xlogaN.(4)对数运算的性质如果a0，且a1，M0，N0，那么：loga(MN)_；loga_；logaMn_；一般地，_；(5)换底公式及对数恒等式对数恒等式：_；loga1_，logaa_.换底公式：logab_ (a0且a1；c0且c1；b0)特别地，logab2对数函数的图象及性质定义一般地，函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数图象a

3、10a1定义域_值域_性质过定点_在(0，)上是_在(0，)上是_3.对数函数与指数函数的关系对数函数ylogax(a0，且a1)与指数函数yax(a0且a1)互为反函数；它们的图象关于直线_对称(三)幂函数1幂函数的定义一般地，函数_叫做幂函数，其中x是自变量，是常数2几个常用的幂函数的图象与性质定义幂函数yx(R)图象00性质(1)图象过点_图象过点_(2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，)上是_在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，)上是_(3)在第一象限内，当1时，图象下凸；当01时，图象上凸在第一象限内，图象都下凸(4)形如yx或yx(m，n为互质的正整数)

4、类型函数的奇偶性判断：当m，n都为奇数时，幂函数在定义域上为奇函数；当m为奇数，n为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当m为偶数，n为奇数时，幂函数在定义域上为偶函数.自查自纠：(一)1(1)n次方根(2)a|a|2(1)1(2)(3)(4)arsarsarbr3R(0，)(0，1)增函数减函数(二)1(1)对数logaN底数真数(2)10lgNelnN(iii)01(3)(4)logaMlogaNlogaMlogaNnlogaMlogaM(5)N，0,1.2(0，)R(1，0)增函数减函数3yx(三)1yx2(1)(0，0)和(1，1)(1，1)(2)增函数减函数典型例题讲练类型一指数

5、幂和对数的运算例题1()化简下列各式：(1)(0.064)2.50；.解：(1)原式1110.(2)计算log5352loglog5log514的值解：原式log52log2log55312.变式1 （2016浙江理12）已知ab1.若logab+logba=，ab=ba，则a= ，b= .【答案】，（2015浙江理12）若，则 【答案】.类型二指数和对数函数的图象及其应用例题2（1）已知实数a，b满足等式，下列五个关系：0ba；ab0；0ab；ba0；ab0.其中不可能成立的关系有()A1个B2个C3个D4个解：作出函数y与y的图象，然后作直线ym，yn(0m1n)我们很容易得到ab0或0b

6、a或ab0，即可能成立的为，不可能成立的为.故选B.（2）()已知函数f(x)|log2x|，0mn，且f(m)f(n)，若函数f(x)在区间m2，n上的最大值为2，则m2()A. B. C. D.解：作出函数f(x)|log2x|的图象如图由题意可得0m1n，0m2m，结合图象可知函数f(x)在m2，n上的最大值为f(m2)，则有log2m22，m222.故选A.类型三指数和对数函数的综合问题例题3（1）()设函数f(x)(1)若a1，则f(x)的最小值为_；(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是_解：(1)a1时，f(x)当x1时，f(x)(1，1)，f(x)无最小值；当x1时

7、，f(x)在为减函数，在为增函数，当x时，f(x)取得最小值为1.(2)若函数g(x)2xa在x0，并且当x1时，g(1)2a0，则0a2；此时函数h(x)4(xa)(x2a)与x轴只有一个交点，所以2a1且a1，则a1.综合得a1.若函数g(x)2xa与x轴有无交点，则函数h(x)4(xa)(x2a)与x轴有两个交点当a0时，g(x)与x轴无交点，h(x)4(xa)(x2a)在1，)与x轴也无交点，不合题意；当g(1)2a0时，a2，h(x)与x轴有两个交点，其横坐标为xa和x2a，由于a2，两交点横坐标均满足x1，符合题意综合可得a的取值范围为a0时，恒有f(x)flgx.(1)求f(x)

8、的解析式；(2)若方程f(x)lg(mx)的解集是，求实数m的取值范围解：(1)当x0时，f(x)flgx恒成立，lglglgx，即(ab)x2(ab)x0.x0，上式若恒成立，则只能有ab，又f(1)0，即ab2，从而ab1，f(x)lg.(2)由lglg(mx)知即由于方程的解集为，故有如下两种情况：方程x2(m1)xm0无解，即0，解得32m32；方程x2(m1)xm0有解，两根均在区间1，0内，令g(x)x2(m1)xm，则有即无解综合知，实数m的取值范围是m|32m1)，由于函数yxn的图象与直线xt的交点为(t，tn)，可见指数n的大小与图象交点的“高低”是一致的，结合图象，可得答

9、案解法二(特殊值法)：当x2时，y1238，y2224，y320.5，y421，84，y1y2y3y4，故填3，2，1.变式4()在下列直角坐标系的第一象限内分别画出了函数yx，y，yx2，yx3，yx1的部分图象，则函数y的图象通过的阴影区域是()解：函数y的图象位于函数yx与yx2的图象之间，对比各选项中的阴影区域，知C正确故选C.方法规律总结1指数函数的图象、性质在应用时，如果底数a的取值范围不确定，则要对其进行分类讨论2比较两个幂的大小，首先要分清是底数相同还是指数相同如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可转化为底数相同，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象；如果指数

10、不同，底数也不同，则要利用中间量3熟练掌握指数式与对数式的互化，它不仅体现了两者之间的相互关系，而且为对数的计算、化简、证明等问题提供了更多的解题途径4作指数函数yax(a0，且a1)和对数函数ylogax(a0，且a1)的图象应分别抓住三个点，(0，1)，(1，a)和，(1，0)，(a，1)5比较两个对数的大小的基本方法(1)若底数为同一常数，则由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对这一字母进行分类讨论(2)若底数不同真数相同，则可先换底再进行比较(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较6幂函数的图象特征与指数的大小关系，大都可通过幂函数的图象与直线x2或x

11、的交点纵坐标的大小反映一般地，在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大、图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，图象越远离x轴(不包括幂函数yx0)7幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，则要看函数的定义域和奇偶性函数的图象最多只能同时出现在两个象限内，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点8判断一个函数是否为指数函数或对数函数或幂函数，一定要根据三种函数定义给出的“标准”形式如f(x)2x2不是指数函数，而f(x)23x是指数函数，因为f(x)23x8x，此时a8，同样f(x)2x1也不是指数函数，因为f(x)2x122x，不是f(x)ax(a0，且a1)的形式课后作业1()已知幂函数