圆锥曲线常见结论.doc
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椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）
椭圆
1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
6.若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
7.椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.
8.椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：
（,）.
9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
11.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，
即。
12.若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.
13.若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.
双曲线
1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：
P在右支；外切：
P在左支）
5.若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.
6.若在双曲线（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
7.双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.
8.双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：
（,
当在右支上时，,.
当在左支上时，,
9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
11.AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。
12.若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.
13.若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
椭圆
1.椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
2.过椭圆（a＞0,b＞0）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
3.若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,,，则.
4.设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记,,，则有.
5.若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6.P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.
7.椭圆与直线有公共点的充要条件是.
8.已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.
（1）;
（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.
9.过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.
10.已知椭圆（a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则.
11.设P点是椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则
（1）.
（2）.
12.设A、B是椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，,,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有
（1）.
（2）.（3）.
13.已知椭圆（a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF的中点.
14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.
（注:
在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
抛物线焦点弦性质总结30条
基础回顾
1.以AB为直径的圆与准线相切；
2.;
3.;
4.;
5.;
6.;
7.;
8.A、O、三点共线；
9.B、O、三点共线；
10.；
11.（定值）；
12.；；
13.垂直平分；
14.垂直平分；
15.；
16.；
17.；
18.；
19.;
20.;
21..
22.切线方程高考资源网
性质深究
一）焦点弦与切线
1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？
结论1：
交点在准线上
先猜后证：
当弦轴时，则点P的坐标为在准线上．
证明:
从略
结论2切线交点与弦中点连线平行于对称轴
结论3弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．
2、上述命题的逆命题是否成立？
结论4过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点
先猜后证：
过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点．
结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．
3、AB是抛物线（p＞0）焦点弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，，，过A，B的切线相交于P，PQ与抛物线交于点M．则有
结论6PA⊥PB．
结论7PF⊥AB．
结论8M平分PQ．
结论9PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA．
结论10
结论11
二）非焦点弦与切线
思考：
当弦AB不过焦点，切线交于P点时，
也有与上述结论类似结果：
结论12①，
结论13PA平分∠A1AB，同理PB平分∠B1BA．
结论14
结论15点M平分PQ
结论16
抛物线的几个常见结论及其应用
结论一：
若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：
，。
例：
已知直线AB是过抛物线焦点F，求证：
为定值。
结论二：
（1）若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。
（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。
例：
已知过抛物线的焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为。
AB倾斜角为或。
结论三：
两个相切：
（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
例：
已知AB是抛物线的过焦点F的弦，求证：
（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
B
A
M
N
Q
P
y
x
O
F
（2）分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：
以MN为直径的圆与直线AB相切。
结论四：
若抛物线方程为，过（，0）的直线与之交于A、B两点，则OA⊥OB。
反之也成立。
结论五：
对于抛物线，其参数方程为设抛物线上动点坐标为，为抛物线的顶点，显然，即的几何意义为过抛物线顶点的动弦的斜率．
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