哈尔滨市2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练：导数及其应用.doc

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哈尔滨2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练：

导数及其应用

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题　共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．函数的图象与直线相切,则（）

A． B． C． D．1

【答案】B

2．设a为实数，函数f（x）=的导数是，且是偶函数，

则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为（）

A． B． C． D．

【答案】A

3．过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（）

A． B．

C． D．

【答案】B

4．定积分的值为（）

A．－1 B．1 C． D．

【答案】B

5．曲线y＝x3－3x2＋1在点（1，－1）处的切线方程为（）

A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2

C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5

【答案】B

6．如图，阴影部分的面积是（）

A． B．

C． D．

【答案】C[来源:

学+科+网Z+X+X+K]

7．过点且与曲线在点处的切线垂直的直线方程为（）[来源:

学科网ZXXK]

A． B． C． D．

【答案】D

8．函数处的切线方程是（）

A． B．

C． D．

【答案】D

9．已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为（）

A．3 B．  2 C．1 D．

【答案】A

10．下列求导运算正确的是（）

A．（ B．（log2x=

C．（3x=3xlog3e D．（x2cosx=－2xsinx

【答案】B[来源:

学科网ZXXK]

11．设函数＝x3﹣x2，则的值为（）

A．－1 B．0 C．1 D．5

【答案】C

12．设命题：

曲线在点处的切线方程是：

；命题:

是任意实数，若，则，则（）

A．“或”为真 B．“且”为真

C．假真 D．，均为假命题

【答案】A

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）

13．____________.

【答案】

14．已知函数在区间上恰有一个极值点，则实数的取值范围是；

【答案】[–1，7）

15．已知函数则这个函数在点处的切线方程为。

【答案】

16．曲线C:

在处的切线方程为____________

【答案】2x-y+2=0

三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．一出租车每小时耗油的费用与其车速的立方成正比，当车速为时，该车耗油的费用为/h,其他费用为12元/h.；甲乙两地的公路里程为160km，在不考虑其他因素的前提下，为了使该车开往乙地的总费用最低，该车的车速应当确定为多少公里/小时？

【答案】设这辆出租车得车速为，耗油的费用为A元/h

由甲地开往乙地需要得时间为th,总费用为B元

依题意，得时，

由此可得

即

令即

得

答：

为了使这辆出租车由甲地开往乙地得总费用最低，

该车得速度应确定为

18．已知,,其中是自然常数）.

（Ⅰ）求的单调性和极小值；

（Ⅱ）求证：

在上单调递增；

（Ⅲ）求证：

.

【答案】（Ⅰ），

∴当时，，此时单调递减当时，，此时单调递增

∴的极小值为

（Ⅱ）

当时，，在上单调递增

（Ⅲ）的极小值为1，即在上的最小值为1，∴，

∴

19．已知函数，过点作曲线的切线的方程，求切线方程．

【答案】，设切点为，

则：

，即：

，

解得：

或，

由得或，得：

或

20．已知函数．

（1）若在上恒成立，求m取值范围；

（2）证明：

2ln2+3ln3+…+nlnn（）．

【答案】令在上恒成立

[来源:

Zxxk.Com]

（1）当时，即时

在恒成立．在其上递减．

原式成立．

当即0

不能恒成立．

综上：

（2）由

（1）取m=1有lnx

令x=n

化简证得原不等式成立．

21．已知某工厂生产件产品的成本为（元），问：

（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？

（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？

【答案】

（1）设平均成本为元，则，[，令得．当在附近左侧时；

因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品．

（2）利润函数为，，

令，得，因此，要使利润最大，应生产6000件产品．

22．已知函数

（Ⅰ）当时,求函数的图象在点处的切线方程；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）是否存在实数，使当时恒成立？

若存在，求出实数；若不存在，请说明理由．

【答案】（I）时,,

于是,,

所以函数的图象在点处的切线方程为，即．

（II）

=，[来源:

学科网ZXXK]

∵，∴只需讨论的符号．

ⅰ）当＞2时，＞0，这时＞0，所以函数在（－∞，+∞）上为增函数．ⅱ）当=2时，≥0，函数在（－∞，+∞）上为增函数．

ⅲ）当0＜＜2时，令=0，解得，．

当变化时，和的变化情况如下表：

∴在，为增函数，在为减函数；

（Ⅲ）当∈（1，2）时，∈（0，1）．由

（2）知在上是减函数，在上是增函数，故当∈（0，1）时，，所以当∈（0，1）时恒成立，等价于恒成立．

当∈（1，2）时，，设，则，表明g（t）在（0，1）上单调递减，于是可得，即∈（1，2）时恒成立，因此，符合条件的实数不存在.