即，故.
评析比较大小是中学代数中的常见内容.其最基本的方法是作差比较法、作商比较法、利用函数的单调性.解法1通过分子有理化（处理无理式常用此法）将问题转化成比较两个分母的大小.解法2直接作商与1比较大小，顺理成章，也很简洁.要注意的是：
时，；时，.此题直接作差难以确定差与0的大小，解法3对的倒数作差再与0比较大小，使得问题顺利获解，反映了思维的灵活性.解法6运用函数的单调性解题，构造一个什么样的函数是关键.我们认为构造的函数应使得恰为其两个函数值，且该函数还应是单调的（最起码在包含对应的自变量值的某区间上是单调的）.解法5与解法7分别构造函数与解几模型，将的大小关系问题转化成斜率问题加以解决，充分沟通了代数与几何之间的内在联系，可谓创新解法.解法8充分挖掘代数式的几何背景，构造平面图形，直观地使问题得到解决，这也是解决大小关系问题和证明不等式的常用方法.
有人对此题作出如下解答：
取则，
，可再取两组特殊值验证，都有.故答案为.
从逻辑上讲，取，得.即使再取无论多少组值（也只能是有限组值）验证，都得，也只能说明或作为答案是错误的，而不能说明一定是正确的,因为这不能排除的可能性.因此答案虽然正确，但解法是没有根据的.当然，如果将题目改为选择题：
已知的大小关系是（）
A、B、C、D、
此时用上述解法，且不用再取特殊值验证就可选D，并且方法简单，答案一定正确.
总而言之，特殊值法在解许多选择题时显得特别简捷，那是因为选择支中的正确答案是唯一的，从而通过特殊值排除干扰支，进而选出正确答案.但特殊值法只能排除错误结论，而不能直接肯定正确答案，因此，用此法解填空题（少数特例除外）与解答题是没有根据的.当然，利用特殊值指明解题方向还是十分可取的.
题2设，且恒成立，则的最大值为（）
A、2B、3C、4D、5
（第十一届高二第一试第7题）
解法1原式．．而
+，且当，即时取等号．．．故选．
解法2，，已知不等式化为
．由，即，故由已知得，选．
解法3由，知，有．又，
即，由题意，．故选．
解法4，．已知不等式可变形为
．记，
则．由题意，．故选．
解法5于是
．比较得．故选．
评析由已知，可得恒成立．根据常识“若恒成立，则；若恒成立，则,”的最小值就是所求n的最大值，故问题转化为求的最小值，上述各种解法都是围绕这一中心的，不过采用了不同的变形技巧，使用了不同的基本不等式而已．解法1运用了；解法2运用了；解法3运用了；解法4运用了；解法5运用了．虽解法异彩纷呈，但却殊途同归．
此题使我们联想到最新高中数学第二册（上）P第8题：
已知，求证：
．
证：
令，则．
．，
．
此证法通过换元将分母中的多项式改写成单项式，使得推证更简单了．运用这一思路，又可得本赛题如下解法：
设，则．恒成立，就是恒成立．也就是恒成立．恒成立，
由题意得．故选．
再看一个运用这一思想解题的例子．
例设，求证：
．
（第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）
证明设则．
，①，
即
，．
本赛题还可直接由下面的命题得解．
命题若，则．
证明，都大于．反复运用①式，可得:
“若,则,当且仅当时取等号”.故有．
也可以这样证明：
，．故由柯西不等式，得
，即．，
．
由此可得本赛题的如下解法：
，，．由题意，．故选．
由此命题还可直接解决第七届高二培训题第8题：
设，并且，，则与的大小关系是（）
A、B、C、D、
解，．故选．
题3设实数满足，，则的最大值为（）
A、B、C、D、
（第十一届高二培训题第5题）
解法1设
则
即max=.故选D．
解法2,又,
当且仅当且即时取等号，
解法3
当且仅当时取等号，故.
解法4设则
当且仅当共线，即时取等号，故.
解法5若设，则直线与圆有公共点，于是
，即.
解法6 设,则
当且仅当时取等号，故．
解法7构造函数，
则故
即
解法8由还可构造图形（如图），其中
为圆的直径，由托勒密定理,得，从而得，当且仅当且时取等号．．
评析解法1抓住已知条件式的结构特征，运用三角代换法，合情合理，自然流畅，也是解决此类型问题的通法之一．
解法2运用基本不等式将放大为关于与的式子，再利用条件求出最大值．值得注意的是，稍不注意，就会得出下面的错误解法：
．故选A．错误的原因就在于用基本不等式求最值时未考虑等号能否取到．上述不等式取等号的条件是①且②，而若①，②式同时取得，则，即这与题设矛盾！
即当时，取不到．解法2是避免这种错误的有效方法．
由于向量与复数的模的平方是平方和形式，与已知形式一致，故解法4与解法6分别运用了构造向量与构造复数的方法，新颖而简洁．
解法5设后，将其看作动直线，利用该直线与定圆有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，得，充分体现了等价转化的解题功能．
解法7运用的是构造函数法．为什么构造函数
呢？
主要基于两点：
①为非负式（值大于等于0），②由于，故有，而沟通了已知与未知的关系，故使问题得到解决．
解法8抓住已知两条件式的特征，构造了两个有公共边的直角三角形，利用托勒密定理及圆的弦小于等于半径使问题获解，充分揭示了这一代数问题的几何背景．
拓展此题可作如下
推广若则
（当且仅当时取得最大值）.
证明
当且仅当
本推广实际就是由著名的（柯西）不等式
（当且仅当时取等号）直接得到的一个结论．
推广有十分广泛的应用，现举一例：
例已知求最大值．
解
＝8．由推广知当且仅当即时取等号．
题4对于的一切实数，使不等式都成立的实数的取值范围是＿＿＿＿
（第十三届高二培训题第63题）
解法1题设等价于或或，即或或,所以或或，即.
解法2已知不等式即，令，则
当，即时，是的一次函数，因为，即时不等式恒成立，所以在上的图象恒在轴的下方，故有，即，解得.
又当时，，适合题意，当时，不合题意.
故的取值范围是.
评析解决本题的关键是如何根据条件构建关于的不等式或不等式组.解法1运用分离参数法，为了达到分离参数的目的，又对分大于0、小于0、等于0三类情形分别构建关于的不等式组，从而通过解不等式组解决了问题.解法2则转换思维角度，把已知不等式看成关于的不等式，从而将原问题转化为函数在上的图象恒在轴下方的问题.这种方法称为变更主元法.用此方法，使得此题的解决显得既简捷，又直观易懂.
题5当时,不等式恒成立,则的最大值是________.
（第十一届高二培训题第45题）
解法1当时,①,又有②,②+①×2,得,,,即.由,得,.
解法2,又
,即,当且仅当且,即时取等号.恒成立,
.于是.
解法3原不等式等价于,由,可知.由“两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”,可知只需,即即可,故,于是.
解法4即①成立，又恒成立，只要满足②就能使①恒成立.由②式，得，，③.由于对称轴，由二次函数的性质，当时，要③式恒成立，则.
解法5设（），则=+
=.－1），即2－，则，于是，由已知，得.
O
O
x
解法6设则
表示在坐标系第一象限内以原点为圆心，为半径的圆及其外部.由得又它表示双曲线位于第一象限内的一支及其上方部分.依题意，双曲线相切或相离，从而，即.
解法7运用结论“如果，则
当且仅当（常数）时取等号.”，由柯西不等式，有①，由得②.故得，当且仅当时取等号，由，得.
解法8运用结论“当且仅当成等差数列时取等号.”
.，当且仅当，即时取等号.令，得.
评析恒成立，.故问题的实质就是求的最小值（关于的式子）大于等于2的解.因而在的条件下，如何求的最小值成了问题的关键.解法1运用“两个互为倒数的正数的和大于等于2”,解法2运用配方再放缩,解法3运用均值不等式及“两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”,解法5运用三角代换，解决了这一关键问题.解法4巧妙地将原问题转化为一个含参（）一元二次不等式恒成立，求参数的范围问题，从而运用二次函数的性质解决问题.解法6将原问题转化为解析几何问题处理.解法7、8则是运用一些现成的结论（读者可自己证明），各种解法异彩纷呈，都值得细细品味.
拓展此题可作如下推广：
推广1若，则，当且仅当成等差数列时取等号.
证明由已知，，则，，.根据柯西不等式及解法7运用的不等式（）,有
故.
当且仅当成等差数列时取等号.
推广2若，则
，当且仅当时取等号.
证明不妨设，由已知得
令，则=.由均值不等式，
即，则，即，
，当且仅当时取等号.
.
题6已知，设，
，，那么的大小关系是（）
A、B、C、D、
（第八届高二第一试第10题）
解法1设，.，而是减函数，
，即.，，
.，即.故.选D.
解法2由题意，令，则，，，，，，是减函数，又，，即.故选D.
评析这是一个比较函数值大小的问题，通常利用函数的单调性.若函数单调递增（减），则当时，，当时，
.因此解决问题的关键有两个：
一是确定函数的单调性，二是确定自变量的大小关系.解法1就是这样解决问题的.
因为正确答案应对一切都正确，故又可以运用特殊值法.对内的某个角不正确的选择支都是错误的，由正确选择支的唯一性，也可选出正确答案.解法2便是取特殊值，排除了A、B、C、而选D的.
当然，此题也可用作差比较法来解：
，，是单调减函数，，.
，.又
，即
，.选D.
题7已知，不等式的解是.
（第三届高二第二试第13题）
解原不等式即.指数函数是减函数，，原不等式化为，即.又对数函数是减函数，，即，解得.对数函数的定义域是的实数，原不等式的解是或.
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