北京市西城区2017-2018学年度高三上学期期末文科数学试卷及答案.doc

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北京市西城区2017—2018学年度第一学期期末试卷

高三数学（文科）2018.1

第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、选择题：

本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．若集合，，则

（A）

（B）

（C）

（D）

2．在复平面内，复数对应的点的坐标为

（A）

（B）

（C）

（D）

3．下列函数中，在区间上单调递增的是

（A）

（B）

（C）

（D）

4．执行如图所示的程序框图，输出的值为

（A）

（B）

（C）

（D）

5．若，则有

（A）

（B）

（C）

（D）

6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的

三视图如图所示，则截去的几何体是

（A）三棱锥

（B）三棱柱

（C）四棱锥

（D）四棱柱

7．函数的图象记为曲线C．则“”是“曲线C关于直线

对称”的

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

8．已知，是函数的图象上的相异两点．若点，到直线的距离相等，

则点，的横坐标之和的取值范围是

（A）

（B）

（C）

（D）

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．若函数是偶函数，则实数____．

10．已知双曲线的一个焦点是，其渐近线方程为，该双曲线的方程是____．

11．向量在正方形格中的位置如图所示．如果小正方形格

的边长为1，那么____．

12．在△中，，，△的面积为，则____；____．

13．已知点的坐标满足条件设为原点，则的最小值是____．

14．已知函数若，则的值域是____；若的值域是，则实数的取值范围是____．

三、解答题：

本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知函数．

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求证：

当时，．

16．（本小题满分13分）

已知数列是公比为的等比数列，且是和的等差中项．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前项之积为，求的最大值．

17．（本小题满分13分）

某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A，B两类（评定标准见表1）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了名学生的得分数据，其中等级为的学生中有是男生，等级为的学生中有一半是女生．等级为和的学生统称为类学生，等级为和的学生统称为类学生．整理这名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图．

类别

得分

B

A

表1图2

（Ⅰ）已知该市高中学生共万人，试估计在该项测评中被评为类学生的人数；

（Ⅱ）某5人得分分别为．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组

成乙组，求“甲、乙两组各有1名类学生”的概率；

（Ⅲ）在这名学生中，男生占总数的比例为，类女生占女生总数的比例为，类男生占男生总数的比例为．判断与的大小．（只需写出结论）

18．（本小题满分14分）

如图，在三棱柱中，平面，.过的平面交于点，交于点.

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）求证：

；

（Ⅲ）记四棱锥的体积为，三棱柱的体积为.若，求的值.

19．（本小题满分14分）

已知椭圆过，两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；

（Ⅱ）设点在椭圆上．试问直线上是否存在点，使得四边形是平

行四边形？

若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分13分）

已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：

存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为

；

（Ⅲ）比较与的大小，并加以证明．

北京市西城区2017—2018学年度第一学期期末

高三数学（文科）参考答案及评分标准

2018.1

一、选择题：

本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．A2．B3．D4．C

5．C6．B7．C8．B

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．10．11．

12．；13．14．；

注：

第12，14题第一空2分，第二空3分.

三、解答题：

本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

解：

（Ⅰ）因为

[4分]

[5分]

，[7分]

所以的最小正周期．[8分]

（Ⅱ）因为，所以．[10分]

所以，[12分]

所以．[13分]

16．（本小题满分13分）

解：

（Ⅰ）因为是和的等差中项，

所以．[2分]

因为数列是公比为的等比数列，

所以，[4分]

解得．[6分]

所以．[8分]

（Ⅱ）令，即，得，[10分]

故正项数列的前项大于1，第项等于1，以后各项均小于1．[11分]

所以当，或时，取得最大值，[12分]

的最大值为．[13分]

17．（本小题满分13分）

解：

（Ⅰ）依题意得，样本中类学生所占比例为，[2分]

所以类学生所占比例为．[3分]

因为全市高中学生共万人，

所以在该项测评中被评为类学生的人数约为8万人．[4分]

（Ⅱ）由表1得，在5人（记为）中，类学生有2人（不妨设为）．

将他们按要求分成两组，分组的方法数为种．[6分]

依次为：

．[8分]

所以“甲、乙两组各有一名类学生”的概率为．[10分]

（Ⅲ）．[13分]

18．（本小题满分14分）

解：

（Ⅰ）因为平面，所以．[2分]

在三棱柱中，因为，所以四边形为菱形，

所以．[3分]

所以平面．[5分]

（Ⅱ）在三棱柱中，

因为，平面，[6分]

所以平面．[8分]

因为平面平面，

所以．[10分]

（Ⅲ）记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为.

因为三棱锥与三棱柱同底等高，

所以，[11分]

所以.

因为，所以.[12分]

因为三棱柱与三棱柱等高，

所以△与△的面积之比为，[13分]

所以．[14分]

19．（本小题满分14分）

解：

（Ⅰ）由题意得，，．[2分]

所以椭圆的方程为．[3分]

设椭圆的半焦距为，则，[4分]

所以椭圆的离心率．[5分]

（Ⅱ）由已知，设，．[6分]

若是平行四边形，则，[8分]

所以，

整理得．[10分]

将上式代入，

得，[11分]

整理得，

解得，或．[13分]

此时，或．经检验，符合四边形是平行四边形，

所以存在，或满足题意．[14分]

20．（本小题满分13分）

解：

（Ⅰ）函数的定义域是，

导函数为．[1分]

所以，又，

所以曲线在点处的切线方程为．[3分]

（Ⅱ）由已知．[4分]

所以只需证明方程在区间有唯一解．

即方程在区间有唯一解．[5分]