1、北京市西城区2017 2018学年度第一学期期末试卷 高三数学(文科) 2018.1第卷(选择题 共40分)一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题列出的 四个选项中,选出符合题目要求的一项1若集合,则(A)(B)(C)(D)2在复平面内,复数对应的点的坐标为(A)(B)(C)(D)3下列函数中,在区间上单调递增的是(A)(B)(C)(D)4执行如图所示的程序框图,输出的值为(A)(B)(C)(D)5若,则有(A)(B)(C)(D)6一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后,剩余几何体的三视图如图所示,则截去的几何体是(A)三棱锥(B)三棱柱(C)四棱锥(D)四棱柱7函数的
2、图象记为曲线C则“”是“曲线C关于直线对称”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件8已知,是函数的图象上的相异两点若点,到直线的距离相等,则点,的横坐标之和的取值范围是(A)(B)(C)(D)第卷(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分9若函数是偶函数,则实数_ 10已知双曲线的一个焦点是,其渐近线方程为,该双曲线的方程是_ 11向量在正方形格中的位置如图所示如果小正方形格的边长为1,那么_ 12在中,的面积为,则_;_ 13已知点的坐标满足条件 设为原点,则的最小值是_14已知函数 若,则的值域是_;若的值域
3、是,则实数的取值范围是_三、解答题:本大题共6小题,共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分13分)已知函数()求的最小正周期;()求证:当时,16(本小题满分13分)已知数列是公比为的等比数列,且是和的等差中项()求的通项公式;()设数列的前项之积为,求的最大值17(本小题满分13分)某市高中全体学生参加某项测评,按得分评为A,B两类(评定标准见表1)根据男女学生比例,使用分层抽样的方法随机抽取了名学生的得分数据,其中等级为的学生中有是男生,等级为的学生中有一半是女生等级为和的学生统称为类学生,等级为和的学生统称为类学生整理这名学生的得分数据,得到如图2所示的频率
4、分布直方图类别得分BA表1 图2()已知该市高中学生共万人,试估计在该项测评中被评为类学生的人数;()某5人得分分别为从这5人中随机选取2人组成甲组,另外3人组成乙组,求“甲、乙两组各有1名类学生”的概率;()在这名学生中,男生占总数的比例为,类女生占女生总数的比例为, 类男生占男生总数的比例为判断与的大小(只需写出结论)18(本小题满分14分)如图,在三棱柱中,平面,.过的平面交于点,交于点.()求证:平面;()求证:;()记四棱锥的体积为,三棱柱的体积为.若,求 的值.19(本小题满分14分) 已知椭圆过,两点()求椭圆的方程及离心率;()设点在椭圆上试问直线上是否存在点,使得四边形是平行
5、四边形?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由20(本小题满分13分)已知函数 ()求曲线在点处的切线方程;()求证:存在唯一的,使得曲线在点处的切线的斜率为;()比较与的大小,并加以证明北京市西城区2017 2018学年度第一学期期末高三数学(文科)参考答案及评分标准 2018.1一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1A 2B 3D 4C 5C 6B 7C 8B 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9 10 11 12; 13 14;注:第12,14题第一空2分,第二空3分. 三、解答题:本大题共6小题,共80分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15
6、(本小题满分13分)解:()因为 4分 5分 , 7分所以的最小正周期 8分()因为 ,所以 10分所以 , 12分所以 13分16(本小题满分13分)解:()因为 是和的等差中项,所以 2分因为数列是公比为的等比数列,所以 , 4分解得 6分所以 8分()令,即,得, 10分故正项数列的前项大于1,第项等于1,以后各项均小于1 11分所以 当,或时,取得最大值, 12分的最大值为 13分17(本小题满分13分)解:()依题意得,样本中类学生所占比例为, 2分所以类学生所占比例为 3分因为全市高中学生共万人,所以在该项测评中被评为类学生的人数约为8万人 4分()由表1得,在5人(记为)中,类学
7、生有2人(不妨设为) 将他们按要求分成两组,分组的方法数为种 6分 依次为: 8分 所以“甲、乙两组各有一名类学生”的概率为 10分() 13分18(本小题满分14分)解:() 因为 平面,所以 2分在三棱柱中,因为 ,所以 四边形为菱形,所以 3分 所以 平面 5分()在 三棱柱中, 因为 ,平面, 6分所以 平面 8分 因为 平面平面,所以 10分()记三棱锥的体积为,三棱柱的体积为.因为三棱锥与三棱柱同底等高,所以 , 11分所以 . 因为 , 所以 . 12分因为 三棱柱与三棱柱等高, 所以 与的面积之比为, 13分所以 14分 19(本小题满分14分)解:()由题意得, 2分所以椭圆的方程为 3分设椭圆的半焦距为,则 , 4分所以椭圆的离心率 5分()由已知,设, 6分若是平行四边形,则 , 8分所以 ,整理得 10分将上式代入 ,得 , 11分整理得 ,解得 ,或 13分此时 ,或经检验,符合四边形是平行四边形,所以存在 ,或满足题意 14分20(本小题满分13分)解:()函数的定义域是,导函数为 1分所以, 又,所以曲线在点处的切线方程为 3分()由已知 4分所以只需证明方程 在区间有唯一解即方程 在区间有唯一解 5分
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