（2）知道f（g（x））的定义域（a，b），求f（x）的定义域：
转化为求g（x）的值域。
例3：
（1）
（2）。
例4：
设，则的定义域为__________
变式练习：
，求的定义域。
二、函数的值域
1求函数值域的方法
①直接法：
从自变量x的范围出发，推出y=f（x）的取值范围，适合于简单的复合函数；
②换元法：
利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；
③判别式法：
运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且∈R的分式；
④分离常数：
适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；
⑤单调性法：
利用函数的单调性求值域；
⑥图象法：
二次函数必画草图求其值域；
⑦利用对号函数
⑧几何意义法：
由数形结合，转化距离等求值域。
主要是含绝对值函数
例：
1．（直接法）
2．2．
3．（换元法）
4．4.（Δ法）
5.
6.6.（分离常数法）①②
7.（单调性）
8.①，②（结合分子/分母有理化的数学方法）
9．（图象法）10．（对号函数）
11.（几何意义）
三、函数的单调性
复合函数的单调性：
（同增异减）
设是定义在M上的函数，若f（x）与g（x）的单调性相反，则在M上是减函数；若f（x）与g（x）的单调性相同，则在M上是增函数。
两个函数f（x）、g（x）之间的基本性质：
增+增=增 增—减=减 减+减+减 减—增=减
例：
1判断函数的单调性。
2函数对任意的，都有，并且当时，，
（1）求证：
在上是增函数；⑵若，解不等式
3函数的单调增区间是________
4.（高考真题）已知是上的减函数，那么的取值范围是（）
（A） （B） （C） （D）
四、函数的奇偶性
常用性质：
1．是既奇又偶函数；
2．2．奇函数若在处有定义，则必有；
3．偶函数满足；
4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称；
5．除外的所有函数奇偶性满足：
奇函数±奇函数=奇函数奇函数×奇函数=偶函数奇函数±偶函数=非奇非偶
奇函数×偶函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数
6．奇偶性的判断
①看定义域是否关于原点对称；②看f（x）与f（-x）的关系
例：
1已知函数是定义在上的偶函数.当时，，则当时，.
2已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；
3已知在（－1，1）上有定义，且满足
证明：
在（－1，1）上为奇函数；
4若奇函数满足，，则_______
五、函数的周期性
1．（定义）若是周期函数，T是它的一个周期。
说明：
nT也是的周期。
（推广）若，则是周期函数，是它的一个周期
对照记忆：
说明：
f（x）的周期为2a;
说明：
f（x）关于直线x=a对称。
2．若；；；则周期是2
例：
1已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=－f（x）,则,f（6）的值为（）
（A）－1（B）0（C）1（D）2
2定义在R上的偶函数，满足，在区间［-2,0］上单调递减，设，则的大小顺序为_____________
3已知f（x）是定义在实数集上的函数，且f（2005）=.
4已知是（-）上的奇函数，，当01时，f（x）=x，则f（7.5）=________
5设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足，当时
⑴求证：
是周期函数；⑵当时，求的解析式；⑶计算：
六、函数的对称性
我们知道：
偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式
奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式上述关系式是否可以进行拓展？
答案是肯定的
探讨：
（1）函数关于对称
也可以写成或
简证：
设点在上，通过可知，，即点上，而点与点关于x=a对称。
得证。
若写成：
，函数关于直线对称
（2）函数关于点对称
或
简证：
设点在上，即，通过可知，，所以，所以点也在上，而点与关于对称。
得证。
若写成：
，函数关于点对称
（3）函数关于点对称:
假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。
但在曲线c（x,y）=0，则有可能会出现关于对称，比如圆它会关于y=0对称。
两个函数的图象对称性
1、与关于X轴对称。
换种说法：
与若满足，即它们关于对称。
2、与关于Y轴对称。
换种说法：
与若满足，即它们关于对称。
3、与关于直线对称。
换种说法：
与若满足，即它们关于对称。
4、与关于直线对称。
换种说法：
与若满足，即它们关于对称。
5、关于点（a,b）对称。
换种说法：
与若满足，即它们关于点（a,b）对称。
6、与关于直线对称。
七、反函数
1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；
2、求反函数的步骤
（1）解
（2）换（3）写定义域。
3、关于反函数的性质
（1）y=f（x）和y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称；
（2）y=f（x）和y=f-1（x）具有相同的单调性；
（3）已知y=f（x），求f-1（a），可利用f（x）=a，从中求出x，即是f-1（a）；
（4）f-1[f（x）]=x;
（5）若点（a,b）在y=f（x）的图象上，则（b,a）在y=f--1（x）的图象上；
（6）y=f（x）的图象与其反函数y=f--1（x）的图象的交点一定在直线y=x上;
例：
设函数的反函数为，且的图像过点，则的图像必过
（A）（B）（C）（D）
八、函数的平移伸缩变换
1、平移变换：
（左+右-，上+下-）即
对称变换：
（对称谁，谁不变，对称原点都要变）
例：
1．f（x）的图象过点（0,1），则f（4-x）的反函数的图象过点（）
A.（3,0）B.（0,3）C.（4,1）D.（1,4）
2．作出下列函数的简图：
（1）y=|log|；
（2）y=|2x-1|；（3）y=2|x|；
九、函数的零点问题
1．函数零点概念
对函数，把使的实数叫做函数的零点．
2.零点存在性定理：
如果函数在区间上的图象是连续不断一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.即存在，使得，这个c也就是方程的根.
问题1:
函数,有,那么在上函数有零点吗?
问题2:
函数在区间有零点吗?
引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗?
解法二:
几何解法
（1）.可化为．
画出函数和的图象，可观察得出C正确.
0
x
y
函数零点、方程的根与函数图像的关系（牢记）
函数有零点 方程有实数根 函数图像有交点.
三、能力提升
1.利用函数图像求函数零点问题
例1：
（1）函数的零点有（）
y
x
A．4个B．3个C．2个D．1个
变式1：
若函数为，则有个零点.
变式2：
若函数为，则有个零点.
解:
由,可化为,画出和的图像,可得出B正确.有4个零点,有6个零点.
（2）函数与的图像在有个交点,
x
y
o
交点的横坐标之和为
解:
函数与的图像在有8个交点,因为图像都关于点对称,故交点的横坐标之和为4.
（3）:
若关于的方程有两个不同的实数根,求的取值范围.
O
x
y
O
y
x
解1:
设,分别画两函数的图像,两图像有两个不同的交点即方程有两个不同的实数根.与的图像，当时，在第一象限平行，第二象限有一个交点，当时只有一个交点在第二象限，当时有两个交点，故.
解2:
设,分别画两函数的图像,,两图像有两个不同的交点即方程有两个不同的实数根.只有当的斜率小于1时有两个交点，即，.
2.利用零点性质求参数的取值范围
探究：
在上有三个零点，求a的取值范围.
解：
由得
x
o
y
令，得或，,得
在，上单调递增，在上单调递减
，
.
x
o
y
变式1：
方程在上有实数解，求a的取值范围.
解：
由方程在上有实数解，即
由的图像可得：
变式2：
在上有实数解，求a的取值范围.
解1：
由，.
变式3：
若不等式在上恒成立，求a的取值范围.
解：
转化为恒成立问题，即得.
课堂小结解决函数零点存在的区间或方程根的个数问题的主要方法有函数零点定理和应用函数图像进行判断;根据函数零点的性质求解参数的取值范围主要有分类讨论、数形结合、等价转换等方法，注重导数求出函数的单调区间和画出函数的图像的应用可以有效解决和零点相关的问题.
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