3.函数的最值：
（1）函数的最值的定义：
定义：
一般地，函数y=f（x）在x0处的函数值是f（x0），如果对于定义域内任意x，不等式f（x）≥f（x0）（f（x）≤f（x0））都成立，那么f（x0）叫做函数y=f（x）的最小值，（最大值）记做：
ymin=f（x0）（ymax=f（x0））
（2）求函数最值的常用方法有：
（1）配方法：
将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；
（2）换元法：
通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的。
（3）数形结合法：
利用函数图象求出函数的最值.
（4）函数的单调性法.
一、函数奇偶性的判定问题。
【例1】判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；
（2）f（x）=（x－1）·；
（3）f（x）=；
（4）f（x）=
剖析：
根据函数奇偶性的定义进行判断.
解：
（1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点.
∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x），
∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数.
（2）先确定函数的定义域.由≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.
（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.
由得
故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.从而有f（x）==，这时有f（－x）==－=－f（x），故f（x）为奇函数.
（4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0，
∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.
当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.
故函数f（x）为奇函数.
评述：
（1）分段函数的奇偶性应分段证明.
（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.
二、奇偶函数的解析式问题。
【例2】已知f（x）是奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=lg，那么当x∈（－1，0）时，f（x）的表达式是__________.
解析：
当x∈（－1，0）时，－x∈（0，1），∴f（x）=－f（－x）=－lg=lg（1－x）.
答案：
f（x）=lg（1－x）
三、奇偶函数的图象问题。
【例3】下面四个结论中，正确命题的个数是
①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）（）
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：
①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－a，a）〕.
答案：
A
四、函数单调性的判定问题。
【例4】证明：
函数是增函数
【例5】讨论函数f（x）=（a＞0）在x∈（－1，1）上的单调性.
解：
设－1＜x1＜x2＜1，
则f（x1）－f（x2）=－
==.
∵－1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，x1x2+1＞0，（x12－1）（x22－1）＞0.又a＞0，∴f（x1）－f（x2）＞0，函数f（x）在（－1，1）上为减函数.
五、函数单调区间的求法问题。
【例6】求函数y=x+的单调区间.（对号函数）【增减减增】
剖析：
求函数的单调区间（亦即判断函数的单调性），一般有三种方法：
（1）图象法；
（2）定义法；（3）利用已知函数的单调性.但本题图象不易作，利用y=x与y=的单调性（一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f（x2）－
f（x1）的正负.
解：
首先确定定义域：
{x|x≠0}，∴在（－∞，0）和（0，+∞）两个区间上分别讨论.
任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=x1+－x2－=（x1－x2）+=（x1-）（1－）=（x1-）
（1）当x1、x2∈（0，1）时，
∴f（x1）－f（x2）＞0，为减函数.
（2）当x1、x2∈（1，+∞）时，
∴f（x1）－f（x2）＜0，为增函数.
同理可求（3）当x1、x2∈（－1，0）时，为减函数；（4）当x1、x2∈（－∞，－1）时，为增函数.
评述：
解答本题易出现以下错误结论：
f（x）在（－1，0）∪（0，1）上是减函数，在（－∞，－1）∪（1，+∞）上是增函数，或说f（x）在（－∞，0）∪（0，+∞）上是单调函数.排除障碍的关键是要正确理解函数的单调性概念：
函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.
深化拓展
求函数y=x+（a＞0）的单调区间.
提示：
函数定义域x≠0，可先考虑在（0，+∞）上函数的单调性，再根据奇偶性与单调性的关系得到在（－∞，0）上的单调性.
答案：
在（－∞，－］，（，+∞）上是增函数，在（0，］，（－，0）上是减函数.
【例7】求下列函数的单调区间：
六、函数奇偶性与单调性的应用。
【例8】
（1）已知函数求。
（2）已知是偶函数，为奇函数，求f（x）。
（3）求函数的值域。
七、二次函数在区间上的最值问题。
【例9】求函数在区间上的最大值和最小值。
【例10】求函数在区间上的最大值。
【例11】求函数在区间上的最大值和最小值。
●闯关训练
1.已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是
A.奇函数 B.偶函数
C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数
解析：
由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax3＋cx（a≠0）为奇函数.
答案：
A
2.已知f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则
a＝___________，b＝___________.
解析：
定义域应关于原点对称，
故有a－1＝－2a，得a＝.
又对于所给解析式，要使f（－x）＝f（x）恒成立，应b＝0.
答案：
0
3.给定函数:
①y=（x≠0）；②y=x2+1；③y=2x；④y=log2x；⑤y=log2（x+）.在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________.
答案：
①⑤②③④
4.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是
A.y=－x+1 B.y=
C.y=x2－4x+5 D.y=
答案：
B
5.函数y=loga（x2＋2x－3），当x=2时，y＞0，则此函数的单调递减区间是
A.（－∞，－3） B.（1，＋∞）
C.（－∞，－1） D.（－1，＋∞）
解析：
当x=2时，y=loga5＞0，∴a＞1.由x2＋2x－3＞0x＜－3或x＞1，易见函数t＝x2＋2x－3在（－∞，－3）上递减，故函数y=loga（x2＋2x－3）（其中a＞1）也在（－∞，－3）上递减.
答案：
A
6.（2003年北京朝阳区模拟题）函数y=log|x－3|的单调递减区间是__________________.
解析：
令u=|x－3|，则在（－∞，3）上u为x的减函数，在（3，+∞）上u为x的增函数.又∵0＜＜1，∴在区间（3，＋∞）上，y为x的减函数.
答案：
（3，+∞）
7.有下列几个命题：
①函数y=2x2+x+1在（0，＋∞）上不是增函数；②函数y=在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是减函数；③函数y=的单调区间是［－2，+∞）；④已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（－a）+f（－b）.其中正确命题的序号是___________________.
解析：
①函数y=2x2+x+1在（0，+∞）上是增函数，∴①错；②虽然（－∞，－1）、（－1，＋∞）都是y=的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义，∴②错；③要研究函数y=的单调区间，首先被开方数5+4x－x2≥0，解得－1≤x≤5，由于［－2，+∞）不是上述区间的子区间，∴③错；④∵f（x）在R上是增函数，且a＞－b，∴b＞－a，f（a）＞f（－b），f（b）＞f（－a），f（a）+f（b）＞f（－a）+f（－b），因此④是正确的.
答案：
④
8.若f（x）=为奇函数，求实数a的值.
解：
∵x∈R，∴要使f（x）为奇函数，必须且只需f（x）+f（－x）=0，即a－+a－=0，得a=1.
9.（文）如果函数f（x）=x2+2（a－1）x+2在区间（－∞，4］上是减函数，那么实数a的取值范围是___________________.
解析：
对称轴x=1－a，由1－a≥4，得a≤－3.
答案：
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