函数单调性和奇偶性专题.docx

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函数单调性和奇偶性专题

函数单调性和奇偶性专题

一．知识点精讲：

一、单调性

1.函数的单调性定义：

一、函数单调性的定义及性质

（1）定义

对于给定区间

上的函数

，如果对任意

，当

，都有

，那么就称

在区间

上是增函数；当

，都有

，那么就称

在区间

上是减函数．

与之相等价的定义：

⑴

，〔或都有

〕则说

在这个区间上是增函数（或减函数）。

其几何意义为：

增（减）函数图象上的任意两点

连线的斜率都大于（或小于）0。

（2）函数的单调区间

如果函数

在某个区间上是增函数（或减函数），就说

在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做该函数的单调区间。

如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。

单调性反映函数的局部性质。

一个函数

在区间

上都是增函数，但它在区间

上不一定是增函数。

（3）判断单调函数的方法：

①定义法，其步骤为：

①在该区间上任取

，②作差

、化积、定号；

②互为反函数的两个函数具有相同的单调性；

③奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，而偶函数在对称的两个区间上却有相反的单调性；

④复合函数单调性的根据：

设

都是单调函数，则

在

上也是单调函数，其单调性是

与

单调性相同则

是增函数，单调性相反则

是减函数。

⑤几个与函数单调性相关的结论：

（ⅰ）增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；

（ⅱ）增函数－减函数=增函数；减函数－增函数=减函数。

⑥如果

在某个区间

上是增函数（或减函数），那么.

.在区间

的任意一个子区间上也是增函数（或减函数）。

（4）常见一些函数的单调性：

①一次函数

，当

时，在

上是增函数；当

时，在

上是减函数．

②反比例函数

，当

时，在

和

上都是减函数；当

时，在

和

上都是增函数．

③二次函数

，当

，在

上是减函数，在

上是增函数；当

，在

上是增函数，在

上是减函数．

④当

时，

和

在其定义域为增函数，当

，

和

在其定义域为减函数。

二、奇偶性

①对于函数

的定义域任意一个

，都有

〔或

〕，则称

为奇函数.奇函数的图象关于原点对称。

②对于函数

的定义域任意一个

，都有

〔或

〕，则称

为偶函数.偶函数的图象关于

轴对称。

③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性.具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）

二．经典例题剖析：

（不带答案版）

单调性:

例1．

（1）函数f（x）＝|x－2|x的单调减区间是______.

（2）函数

的单调区间_______；

变式：

（1）函数

的单调区间为

（2）设函数f（x）＝

，g（x）＝x2f（x－1），则函数g（x）的递减区间是________．

例2：

（1）函数

在

上单调递减，则实数

的围_______；

（2）函数

在

上单调递增，则实数

的围_________。

变式：

（1）已知函数f（x）＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值围为________________．

（2）函数y=loga（2－ax）在［0，1］上是减函数，则a的取值围是________.

例3．设函数f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f（x）＝3x－1，则

之间的大小关系是_______.

例4．定义新运算⊕：

当a≥b时，a⊕b＝a；当a

例5：

（1）用定义证明

在

上是减函数。

变式：

用定义证明函数

在

上的单调性。

例6：

已知函数

，常数

）．若函数

在

上为增函数，求

的取值围．

变式：

已知函数

在区间

上是增函数，数

的围。

例7：

设函数

，判断

在其定义域上的单调性。

例8：

求

（

且

）的单调区间。

例9：

设

为实数，函数

，

，求

的最小值．

奇偶性

例1：

判断下列函数的奇偶性：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

变式：

判断函数的奇偶性

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦

例2：

已知

是偶函数，

时，

，求

时

的解析式.

变式：

已知

是奇函数，

是偶函数，且

，求

、

.

例3：

若

是偶函数，且在

上增函数，又

，求

的解集。

例4：

（1）定义在

上的奇函数

是减函数，解关于

的不等式：

。

（2）定义在

上的偶函数

在

上单调递减，且

成立，求

的取值围。

变式：

（1）定义在

上的偶函数，

上为增函数，且

成立，求

的取值围。

（2）定义在

上的奇函数

是减函数，且

成立，求

的取值围。

例5：

已知函数

对任意

都有

，并且当

时，

。

（1）求证：

在

上是增函数；

（2）若

求满足条件

的实数

的取值围。

变式：

（1）设函数

是定义在R上的奇函数，且在区间

上是减函数。

试判断函数

在区间

上的单调性，并给予证明。

（2）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f（－x）＝0，且在（－∞，0）上单调递增，如果x1＋x2<0且x1x2<0，则f（x1）＋f（x2）的取值围是___________.

例6：

已知函数f（x）=x+

+m（p≠0）是奇函数，当x∈［1，2］时，求f（x）的最大值和最小值.

变式：

设

为实数，函数

。

（1）讨论函数的奇偶性；

（2）求函数的最小值

三．经典例题剖析：

（部分带答案版）

单调性:

例1．

（1）函数f（x）＝|x－2|x的单调减区间是______.

解由于f（x）＝|x－2|x＝

结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．

（2）函数

的单调区间_______；

【分析】对函数

，是由

向右平移1个单位得到，由反比例函数性质得，函数在

上单调递增，特别注意：

单调区间不能写成

，可举反例说明；

【解】

上单调递增；

变式：

（1）函数

的单调区间为

（2）设函数f（x）＝

，g（x）＝x2f（x－1），则函数g（x）的递减区间是________．

【解析】由题意知g（x）＝

函数图象如图所示，其递减区间是[0,1）．

例2：

（1）函数

在

上单调递减，则实数

的围_______；

【分析】关于二次函数的单调性，注意看两个方面，即开口方向和对称轴，注意结合二次函数的图像解题.问题

（1）中给定了函数在

上单调递减，而图象开口向上，因此对称轴

应在

的右边，从而

；

（2）函数

在

上单调递增，则实数

的围_________。

【分析】函数

，由图象可知函数在

的围，当

递减，当

递增，由题意在

上单调递增得

。

变式：

（1）已知函数f（x）＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值围为________________．

【解析】函数f（x）＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．

由图象可知，函数在（－∞，a]和[a，＋∞）上都具有单调性，因此要使函数f（x）在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈（－∞，1]∪[2，＋∞）．

（2）函数y=loga（2－ax）在［0，1］上是减函数，则a的取值围是________.

【解析】题中隐含a＞0，∴2－ax在［0，1］上是减函数.∴y=logau应为增函数，且u=2－ax在［0，1］上应恒大于零.∴

∴1＜a＜2.

例3．设函数f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f（x）＝3x－1，则

之间的大小关系是_______.

【解析】由题设知，当x<1时，f（x）单调递减，当x≥1时，f（x）单调递增，而x＝1为对称轴，∴

例4．定义新运算⊕：

当a≥b时，a⊕b＝a；当a

【解析】

f（x）在定义域都为增函数，所以最大值6。

例5：

用定义证明

在

上是减函数。

【证明】设

，且

，则

由于

，

，

则

，即

，所以

在

上是减函数。

变式：

用定义证明函数

在

上的单调性。

【证明】设

、

，且

，则

，

又

，所以

，

，

当

、

时

，此时函数

为减函数；

当

、

时

，此时函数

为增函数。

综上函数

在区间

为减函数；在区间

为增函数。

注由于

与0的大小关系

不是明确的，因此要分段讨论。

讨论的方法是令

，则

，解得

。

例6：

已知函数

，常数

）．若函数

在

上为增函数，求

的取值围．

【解析】设

，则

，

要使函数

在

上为增函数，必须

恒成立．

，还要

，即

恒成立．

又

，

，所以

的取值围是

．

变式：

已知函数

在区间

上是增函数，数

的围。

【答案】

以上例题都是用定义法判定函数单调性，基本方法是作差----化积----定号。

这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐，有时也可以利用函数单调性的性质来判断其他函数的单调性。

例7：

设函数

，判断

在其定义域上的单调性。

【解析】函数

的定义域为

.

先判断

在

的单调性，由题可把

转化为

，又

故

，

虽x的增大而减小，所以

在

上为减函数；

同理可判断

在

也是减函数。

故函数

在

和

是减函数（本题

在

也是减函数）。

变式：

已知

，若

，试确定

的单调区间和单调性。

函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性，因此首先把函数等价地转化成我们熟悉的单调函数的四则混合运算的形式，然后利用函数单调性的性质去判断，但有些函数不能化成简单单调函数四则混合运算形式就不能采用这种方法。

例8：

求

（

且

）的单调区间。

【解析】由题可得函数

是由外函数

和函数

符合而成。

由题知函数

的定义域是

。

函数

在

为增函数，在

为减函数。

①若

，外函数

为增函数，由同增异减法则，故函数

在

上是增函数；函数

在

上是减函数。

②若

，外函数

为减函数，由同增异减法则，故函数

在

上是减函数；函数

在

上是增函数。

小结：

判断复合函数

的单调性的一般步骤：

⑴合理地分解成两个基本初等函数

；

⑵分别解出两个基本初等函数的定义域；

⑶分别确定单调区间；

⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性相同，则

为增函数，若为一增一减，则

为减函数（同增异减）；

⑸求出相应区间的交集，即是复合函数

的单调区间。

一分二求三定四交同增异减确定区间

例9：

设

为实数，函数

，

，求

的最小值．

【解析】①当

时，函数

，

若

，则函数

在

上单调递减，∴函数

在

上的最小值为

；

若

，函数

在

上的最小值为

，且

．

②当

时，函数

，

若

，则函数

在

上的最小值为

，且

；

若

，则函数

在

上单调递增，∴函数

在

上的最小值

．

综上，当

时，函数

的最小值是

，当

时，函数

的最小值是

，当

，函数

的最小值是

．

奇偶性

例1：

判断下列函数的奇偶性：

（1）

（2）