函数的单调性与奇偶性 初中数学 函数的奇偶性与单调性文档格式.docx

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　　上任意两个值时有

　　,

　　若

　　,称

　　时有为

　　上减函数.

　　称

　　为

　　二.例题精讲

　　【例1】已知定义域为的函数

　　（Ⅰ）求

　　（Ⅱ）若对任意的取值范围.

　　解析（Ⅰ）因为

　　是奇函数，所以

　　=0，

　　是奇函数.

　　的值;

　　,不等式恒成立,求的

　　又由f

（1）=-f（-1）知

　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又由题设条件得

　　即整理得

　　上式对一切

　　，

　　均成立，

　　从而判别式

　　【例2】设函数表示和,并求

　　解依题意有

　　而

　　在处取得极值－2,试用

　　的单调区间.

　　故从而

　　解得

　　。

　　令由于

　　，得在

　　或处取得极值，

　　故

　　，即。

（1）若，即，则当时，；

（2）当

　　时，；

当时，；

　　从而的单调增区间为；

　　单调减区间为

　　若，即，同上可得，

　　的单调增区间为；

单调减区间为

　　【例3】

（理）

　　设函数

　　成立,求实数的取值范围.

　　（文）讨论函数

　　（理）解法一令g（x）＝（x＋1）ln（x＋1）－ax，对函数g（x）求导数g′（x）＝ln（x＋1）＋1－a

　　令g′（x）＝0，解得x＝ea－1－1，

　　（i）当a≤1时，对所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，＋∞）上是增函数，又g（0）＝0，所以对x≥0，都有g（x）≥g（0），即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f（x）≥ax．

　　（ii）当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，ea－1－1）是减函数，

　　又g（0）＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g（x）＜g（0），即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．

　　解法二令g（x）＝（x＋1）ln（x＋1）－ax，于是不等式f（x）≥ax成立即为g（x）≥g（0）成立．

　　对函数g（x）求导数g′（x）＝ln（x＋1）＋1－a令g′（x）＝0，解得x＝ea

　　－1

　　若对所有的,

　　都有

　　的单调性

　　－1，

　　当x＞ea－1－1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，当－1＜x＜ea－1－1，g′（x）＜0，g（x）为减函数，

　　所以要对所有x≥0都有g（x）≥g（0）充要条件为ea－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．（文）解设

　　则

　　∵∴

　　当当当

　　时，

　　为常量，无单调性

　　，则

　　为减函数

　　为增函数

　　【例4】

（理）已知函数（Ⅰ）若

　　（Ⅱ）若

　　（文）

　　已知

　　求

　　,其中的单调性;

　　为常数.

　　,讨论函数

　　且=4,试证:

.

　　为定义在

　　上的奇函数，当

　　时，，

　　的表达式.

　　（理）

　　（文）解∵当

　　为奇函数∴

　　为奇函数，∴

　　∴

　　三.巩固练习

　　值范围是（）A.

　　B.

　　C.

　　是上的减函数,那么的取

　　D.

　　已知是周期为2的奇函数,

　　当

　　则（）

　　时

　　,,

　　设

　　A.

　　下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）

　　B.C.D.

　　若不等式（）

　　A.0B.–2C.-D.-3设

　　对于一切

　　（0,）成立,则的取值范围是

　　是上的任意函数,则下列叙述正确的是（）

　　A.C.

　　已知定义在

　　上的奇函数

　　为（）

　　A.－1B.0C.1D.2

　　已知函数于直线

　　对称,记

　　的图象与函数

　　（.若

　　且

　　）的图象关在区间

　　上

　　满足

　　的值

　　是偶函数D.

　　是偶函数

　　是奇函数B.

　　是奇函数

　　是增函数,则实数的取值范围是（）A.

　　如果函数

　　增函数,那么实数的取值范围是（）Ａ.

　　在区间上是

　　Ｂ.Ｃ.Ｄ.

　　对于上可导的任意函数

　　A.D.

　　10.已知A.

　　1已知函数

　　1已知函数时,1

　　,则当

　　是定义在

　　时,,若

　　,若满足,则必有（）

　　,则（）

　　C.D.

　　为奇函数,则.

　　上的偶函数.当.

　　是定义在上的以3为周期的偶函数,且=0在区间（0,6）内解的个数的最小值是

　　则方程

　　（）

　　A.5B.4C.3D.2

　　1下列函数既是奇函数,又在区间

　　上单调递减的是（）

　　1若函数

　　A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值

　　C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值

　　1若函数则的取值范围是（）A.1设

　　对称,则

　　1设函数

　　在

　　上满足

　　.

　　是定义在上的奇函数,且

　　的图象关于直线

　　______.

　　在区间

　　内单调递增,

　　,则该函数在

　　上是（）

　　且在闭区间［0，7］上,只有

　　（Ⅰ）试判断函数

　　（Ⅱ）试求方程证明你的结论.

　　1（理）已知

（1）当为何值时

　　取得最小值？

证明你的结论;

（2）

　　,函数

　　=0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数,并

　　的奇偶性;

　　[-1，1]上是单调函数,求的取值范围.

　　（文）已知象关于直线且

（1）求12,求.

　　20.已知函数

　　处的切线方程为

（1）求函数

　　为偶函数且定义域为对称,当

　　时,

　　,的图象与的图

　　,为实常数,

　　的解析式;

（2）求的单调区间;

（3）若的最大值为

　　的图象过点（0,2）,且在点.

（2）求函数的单调区间.

　　2已知向量

　　1,1）上是增函数,求的取值范围.

　　2（理）已知函数

　　.若

　　若函数

　　在区间（－

　　存在单调递减区间,求的取值范围.

　　已知函数间

　　巩固练习参考答案

　　CDACDBD

　　在区

　　上是增函数,求实数的值.

　　上是减函数,且在区间

　　BC10.A1a=A1B10

　　1-x-x41B1D1

　　18.解:

由f（2-x）=f（2+x）,f（7-x）=f（7+x）得函

　　数

　　从而知函数

　　不是奇函数,

　　的对称轴为

　　由

　　从而知函数故函数

　　,的周期为是非奇非偶函数;

　　又

　　（II）由

　　（II）又

　　故f（x）在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2000]上有400个解,所以函数

　　1（理）解（I）对函数令解得

　　当变化时，

　　在[-2005,2005]上有802个解.

　　求导数得

　　得［+2（1－）－2］=0从而+2（1－）－2=0

　　、的变化如下表

　　在=处取得极大值，在=处取得极小值。

　　当≥0时，数,而当

　　=.

　　取得最小值，

　　1,

　　上为减函数，在

　　上为增函

　　当x=0时，所以当

　　（II）当≥0时，即

　　于是

　　在，解得

　　上为单调函数的充要条件是，

　　在[-1，1]上为单调函数的充要条件是

　　即的取值范围是

　　（文）解:

（1）先求设则点所以

　　再根据偶函数的性质,求当

　　得关于是

　　上的解析式

　　上的一点,

　　的对称点为且

　　上的解析式为

　　所以

（2）当因

　　时,所以

　　因所以当所以

　　,所以在

　　,所以上为减函数.

　　而.

　　因,

　　因所以

　　所以,所以,即

　　在上为增函数

　　（3）由

（2）知又因所以

　　在上为增函数，在上为减函数,

　　为偶函数,所以

　　上的最大值

　　得.

　　20.解（Ⅰ）由所以

　　知

　　由在

　　处的切线方程是

　　的图象经过P（0，2），知d=2，

　　故所求的解析式是

　　（Ⅱ）解得

　　当当故在

　　2解法1依定义

　　内是减函数，在

　　内是增函数，

　　内是增函数.

　　故要使

　　解法2依定义

　　开口向上的抛物线，

　　在区间（－1，1

　　）上恒成立

　　的图象是开口向下的抛物线，

　　2（理）解

　　则所以

　　因为函数h（x）存在单调递减区间，

　　0时，则ax2+2x－1>

0有x>

0的解.

　　①当a>

0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>

0总有x>

0的解；

　　②当a0总有x>

　　则△=4+4a>

0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－1

　　（文）解

　　2007-07-25人教网

　　,当时