几何法求解二面角题型分类.doc
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6.3二面角
一、作点在面上的射影（作垂线）
1、已知矩形中，，，将矩形沿对角线把折起，使移到点，且在平面上的射影恰好在上．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求证：
平面平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
2、在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF。
（Ⅰ）求证：
BD⊥平面AED；
（Ⅱ）求二面角F－BD－C的余弦值。
.
C
O
B
D
E
A
C
D
O
B
E
图1
图2
3.如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,，
为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.
（Ⅰ）证明:
平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.
4．一个三棱锥的三视图、直观图如图．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求点C到平面SAB的距离；
（3）求二面角的余弦值．
二、过棱作垂面（线）法（作垂面）
1.在锥体中，是边长为1的棱形，且,,分别是的中点，
（1）证明：
;
（2）求二面角的余弦值.
2、如图，边长为2的正方形ABCD，E,F分别是AB,BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE,DF折起，使A,C两点重合于。
（1）求证：
⊥EF;
（2）求二面角的余弦值.
_
F
_
F
_
D
_
E
_
B
_
A
_
E
_
A
_
/
_
D
_
C
_
B
3、如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E为PB上的点，且2BE＝EP。
（1）证明：
AC⊥DE；
（2）若PC＝BC，求二面角E－AC－P的余弦值。
4、如图,在四棱锥P—ABCD中,底面是边长为的菱形,且∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=,
M,N分别为PB,PD的中点.
（Ⅰ）证明:
MN∥平面ABCD;
（Ⅱ）过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值.
三、无棱的延展半平面（作延长线或平行线）
1.如图4，在三棱柱中，△是边长为的等边三角形，
平面，，分别是，的中点.
（1）求证：
∥平面；
（2）若为上的动点，当与平面所成最大角的正切值为时，
求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.
2．如图，在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足．
（1）求证：
；
（2）在棱上确定一点，使，，，四点共面，并求
此时的长；
（3）求平面与平面所成二面角的余弦值．
3.如图5,已知△ABC为直角三角形,∠ACB为直角.以AC为直径作半圆O,使半圆O所在平面⊥平面ABC,P为半圆周异于A,C的任意一点.
（1）证明:
AP⊥平面PBC
（2）若PA=1,AC=BC=2,半圆O的弦PQ∥AC,求平面PAB与平面QCB所成锐二面角的余弦值.
4．如图,在四棱锥P-ABCD中,AB丄平面PAD,PD=AD,E为PB的中点,向量,点H在AD上,且（I）证明EF//平面PAD.
（II）若PH=,AD=2,AB=2,CD=2AB,
（1）求直线AF与平面PAB所成角的正弦值.
（2）求平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值.
5.如图5，弧AEC是半径为的半圆，为直径，点为弧AC的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足==，FE=.
（1）证明：
；
（2）已知点为线段上的点，，，求平面与平面所成的两面角的正弦值.
6.
课后练习
A
C
B
A1
C1
B1
D
1、如图,在直三棱柱中，，,，，
点是的中点．
⑴、求证：
平面；
⑵、求二面角的正切值．
2、已知等腰直角三角形，其中∠=90º，．点A、D分别是、的中点，现将△沿着边折起到△位置，使⊥，连结、．
（1）求证：
⊥；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
3、已知平面是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面），BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线的中点，AA1为母线，已知
（I））求证：
⊥平面；
（II）求二面角的余弦值．
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
4、长方体中，，．
（1）若分别是、中点，求证：
EF//平面；
（2）求二面角的正弦值．
5．右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，平面，，且=2.
（1）求证：
平面；
（2）求证：
；
（3）求二面角A-PB-E的余弦值。
6、如图,已知三棱锥的侧棱两两垂直,且,,是的中点.
A
BA
CA
EA
OA
（1）求点到面的距离；
（2）求二面角的正弦值.
7．如图,为矩形,为梯形,平面平面,,
.
（1）若为中点,求证:
∥平面;
（2）求平面与所成锐二面角的大小.
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