全国高中数学联赛辽宁省初赛试题及参考答案及评分标准.doc

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2013年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题及参考答案及评分标准

说明：

1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题和填空题只设5分和0分两档，其它各

题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。

2．如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，评卷时可参照本

评分标准适当划分档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。

一．选择题（本题满分30分，每小题5分）

1．已知集合．当时，实数的取值范围是（）．

（A）.（B）.或（C）.（D）．或

1.（B）.

2．过原点的直线l交双曲线于P、Q两点，其中点P在第二象限，将下半平面沿x轴折起使之与上半平面成直二面角，线段PQ的最短长度是（）．

（A）.（B）.（C）.（D）．4

2.（D）．

3．设均为非零复数，令，若，则的值为（）．

（A）.1（B）.（C）.（D）．

3.（C）.

4．设是上的单调函数，且对任意，都有．若是方程的一个解，且，则的值为（）．

（A）.1（B）.2（C）.3（D）．4

4.（B）．

5．内直径为，高为20的圆柱形容器中最多可以放入直径为2的小球的个数是（）．

（A）.30（B）.33（C）.36（D）．39

5.（C）．

6．已知实数满足．则的最大值是（）．

（A）.7（B）.（C）.（D）．3

6.（A）.

二．填空题（本题满分30分，每小题5分）

7．若，则的最大值是．

7..

8．长方体中，，则异面直线与的距离为．

8..

9．椭圆的离心率为，斜率为1且过点的直线与椭圆交于A、B两点．设O为坐标原点，若，则该椭圆的方程是．

9..

10．将11个完全一样的小球放入6个不相同的盒子中，使得至多有3个空盒子的放法有

种．

10..

11．已知函数设方程在区间内所有实根的和为，则数列{}的前项和=．

11..

12．数列{}中，，则此数列的通项公式=．

12..

三．解答题

13．设关于的方程有两个实根，函数.

（1）求的值；

（2）判断在区间的单调性，并加以证明；

（3）若均为正实数，证明：

.

13.解:

（Ⅰ）∵是方程的两个根，∴，

∴，

∴，同理可得∴，………………（5分）

（Ⅱ）∵，

当时，，∴在上单调递增．………………………（10分）

（Ⅲ）∵，，

∴∴由（Ⅱ）可知，，

同理，

∴，……………………………（15分）

由（Ⅰ）可知，，，，

∴，

∴．……………………（20分）

14.已知数列{}满足为实数）．

（1）若恒成立，求的取值范围；

（2）若=-2，求证：

．

14.解:

（Ⅰ）当时，由得，

即时，.…………………………（5分）

下面证明当时，.

当时，成立；设当时，成立；则当时，

，

故对所有，成立.

当时，成立，故对所有，成立.

综上，的取值范围是.……………………………（10分）

（Ⅱ）当时，（），

（），…………………（15分）

.……………（20分）

15．如图，锐角△ABC中，AB

∠PBA=∠PCA.

15.证明:

如图,作平行四边形和平行四边形，

则，，又，

故，………………………（5分）

，所以，

又，则、、三点共线.……（10分）

因此，,

故、、、四点共圆，

又由于

故，……（20分）

故.……（25分）

16.设点P为圆上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q.点满足.

（1）求点M的轨迹的方程；

（2）过直线上的点T作圆C2的两条切线，设切点分别为A、B，若直线AB与

（1）中的曲线C2交于两点C、D，求的取值范围.

16.解：

（Ⅰ）设点，由，得，

由于点在上，

所以，即的轨迹方程为.………………（5分）

（Ⅱ）设点，，则，的方程为

，，

又点在、上，则有：

①，②，……………………（10分）

由①、②知的方程为：

，

设点，则圆心到的距离，则；……………………（15分）

又由，得，

于是，，∴，

于是，

设，则，于是，

设，于是，……………………（20分）

设，，令，得.，

得在上单调递增，故.，即的范围为.

…………………………………………（25分）

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