1、2013年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题及参考答案及评分标准说明: 1评阅试卷时,请依据本评分标准,选择题和填空题只设5分和0分两档,其它各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。 2如果考生的解题方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分,可以5分为一个档次,不要再增加其它中间档次。一选择题(本题满分30分,每小题5分)1已知集合当时,实数的取值范围是( )(A) . (B). 或 (C). (D)或1. (B). 2过原点的直线l交双曲线于P、Q两点,其中点P在第二象限,将下半平面沿x轴折起使之与上半平面成直二面角,线段PQ的最短长度是( )
2、(A) . (B). (C). (D)42. (D)3设均为非零复数,令,若,则的值为( )(A) . 1 (B). (C). (D)3. (C). 4设是上的单调函数,且对任意,都有若是方程的一个解,且,则的值为( )(A) . 1 (B). 2 (C). 3 (D)44. (B) 5内直径为,高为20的圆柱形容器中最多可以放入直径为2的小球的个数是( )(A) . 30 (B). 33 (C). 36 (D)395. (C) 6已知实数满足则的最大值是( )(A) . 7 (B). (C). (D)3 6. (A) . 二填空题(本题满分30分,每小题5分)7若,则的最大值是 7. . 8
3、长方体中,则异面直线与的距离为 8. . 9椭圆的离心率为,斜率为1且过点的直线与椭圆交于A、B两点设O为坐标原点,若,则该椭圆的方程是 9. . 10将11个完全一样的小球放入6个不相同的盒子中,使得至多有3个空盒子的放法有 种10. . 11已知函数设方程在区间内所有实根的和为,则数列的前项和= 11. . 12数列中,则此数列的通项公式= 12. . 三解答题13设关于的方程有两个实根,函数.(1)求的值;(2)判断在区间的单调性,并加以证明;(3)若均为正实数,证明:.13. 解: ()是方程的两个根, , ,同理可得 , (5分)(),当时,在上单调递增 (10分)(), 由()可知
4、,同理, , (15分)由()可知, (20分)14.已知数列满足为实数)(1)若恒成立,求的取值范围;(2)若=-2,求证:14. 解: ()当时,由得,即时,. (5分)下面证明当时,.当时,成立;设当时,成立;则当时,故对所有,成立.当时,成立, 故对所有,成立.综上,的取值范围是. (10分)()当时, (),(), (15分). (20分)15如图,锐角ABC中,ABAC,且点D和E在边BC上,满足BD=CE.若在ABC内存在点P满足PD|AE且PAB=EAC,证明: PBA=PCA.15.证明:如图,作平行四边形和平行四边形,则,又, 故, (5分),所以,又,则、三点共线. (10分)因此,,故、四点共圆,又由于,故,(20分)故. (25分)16.设点P为圆上的动点,过点P作x轴的垂线,垂足为Q.点满足.(1)求点M的轨迹的方程;(2)过直线上的点T作圆C2的两条切线,设切点分别为A、B,若直线AB与(1)中的曲线C2交于两点C、D,求的取值范围. 16.解:()设点,由,得, 由于点在上,所以,即的轨迹方程为. (5分) ()设点,则,的方程为,又点 在、上,则有:, (10分)由、知的方程为:,设点,则圆心到的距离,则; (15分)又由,得,于是,于是,设,则,于是,设,于是,(20分)设,令,得.,得在上单调递增,故.,即的范围为.(25分) 4 / 4