全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题.doc

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2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题

第一试

一、选择题（每小题5分，共50分）

1、a,b为实数，集合表示把集合M中的元素x映射到集合P中仍为x，则a+b的值等于（）

A.-1B.0C.1D.

2、若函数满足，则的解析式是（）

A.B.C.D

3、若关于x的方程有负数根，则实数a的取值范围为（）

A.B.C.D.

4、已知数列的前n项和分别为，记

则数列{}的前10项和为（）

A.B.C.D.

5、如图1，设P为△ABC内一点，且，

则△ABP的面积与△ABC的面积之比为（）

A.B.C.D.

6、若

则角的取值范围是（）

A.B.C.D.

7、袋中装有m个红球和n个白球，m>n≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系m+n≤40的数组（m,n）的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

8、已知实系数一元二次方程的两个实根为且则的取值范围是（）

A.BCD

9、如图2，在正方体中，P为棱AB上一点，过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面AB均成角，则这样的直线l的条数为（）

A.1B.2C.3D.4

10、如图3，从双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T．延长FT交双曲线右支于P点若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则与的大小关系为（）

A.B.C.D.不确定

二、填空题（每十题6分，共30分）

11、已知为锐角，且，则

12、用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为，能包容此框架的最小球的半径为，则等于

13、设是以2为周期的奇函数，且，若则的值

14、若a，b，c成等差数列，则直线ax+by+c=0被椭圆截得线段的中点的轨迹方程为

15、设则S的最大值为

第二试

一、（20分）设是函数的反函数图象上三个不同点，且满足的实数x有且只有一个，试求实数a的取值范围.

二、（20分）已知x、y、z均为正数

（1）求证：

（2）若,求的最小值

三、（20分）已知,设,记

（1）求的表达式;

（2）定义正数数列。

试求数列的通项公式。

四、（30分）如图4，△ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H,设D、E分别为内切圆I与边BC、CA的切点，求证：

D、H、E三点共线

五、（30分）如图5，已知抛物线C：

，F为C的焦点，l为准线，且l交x轴于E点，过点F任意作一条直线交抛物线C于A、B两点。

（1）若，求证：

；

（2）设M为线段AB的中点，P为奇素数，且点M到x轴的距离和点M到准线l的距离均为非零整数，求证：

点M到坐标原点O的距离不可能是整数。