任意角的三角函数教案.doc

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1.2.1任意角的三角函数

【教学目标】

（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；

（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；

（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；

（4）掌握并能初步运用公式一；

（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.

【教学重难点】

重点:

任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.

难点:

任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.

【教学过程】

y

P（a，b）

r

OM

一、【创设情境】

提问：

锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？

借助右图直角三角形，复习回顾.

引入：

锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。

数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?

如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那

a的终边

P（x,y）

O

x

y

么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则;

;.

思考：

对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？

显然，我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：

;;.

思考：

上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？

本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.

二、【探究新知】

1.探究:

结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?

显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:

在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.

2.思考:

如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?

如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:

（1）叫做的正弦（sine）,记做,即；

（2）叫做的余弦（cossine）,记做,即；

（3）叫做的正切（tangent）,记做,即.

注意:

当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值.

3.思考:

如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?

前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,

.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.

4.探究:

请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：

三角函数

定义域

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

角度制

弧度制

5.思考:

根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系?

终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:

（其中）

6.三角函数线

设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点

，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅳ）

（Ⅲ）

由四个图看出：

当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有

我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。

我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.

7.例题讲解

例1．已知角α的终边经过点，求α的三个函数制值。

解：

变式训练1：

已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值.

解：

,.

例2．求下列各角的三个三角函数值：

（1）；

（2）；（3）．

解：

（1）sin0=0cos0=1tan0=0

（2）

（3）

变式训练2：

求的正弦、余弦和正切值.

例3．已知角α的终边过点，求α的三个三角函数值.

解析：

计算点到原点的距离时应该讨论a的正负.

变式训练3：

求函数的值域.

解析：

分四个象限讨论.

答案：

{2，-2，0}

例4．.利用三角函数线比较下列各组数的大小：

1.与2.tan与tan

三、【学习小结】

（1）本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?

（2）你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?

（3）请写出各三角函数的定义域；

（4）终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?

你在解题时会准确熟练应用公式一吗?

（5）三角函数线的做法.

四、【作业布置】

作业：

习题1.2A组第1,2题．

五、【板书设计】

1.2.1任意角的三角函数

（一）复习引入

（二）概念形成1.三角函数定义2.三角函数线

（三）例题讲解

小结：