任意角与弧度制知识点汇总.doc
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1.1任意角与弧度制
知识梳理:
一、任意角和弧度制
1、角的概念的推广
定义：
一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角，记作：
角或可以简记成。
2、角的分类：
由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
可以将角分为正角、零角和负角。
正角：
按照逆时针方向转定的角。
零角：
没有发生任何旋转的角。
负角：
按照顺时针方向旋转的角。
3、“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角
角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
例1、
（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=（填序号）.
①{小于90°的角} ②{0°～90°的角}
③{第一象限的角} ④以上都不对
（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）
A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C
4、常用的角的集合表示方法
1、终边相同的角：
（1）终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与个周角的和。
（2）所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合
即：
任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和
注意：
1、2、是任意角
3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。
终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。
4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。
例1、
（1）若角的终边与角的终边相同，则在上终边与的角终边相同的角为。
（2）若是终边相同的角。
那么在
例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：
（1）；
（2）．
例3、求，使与角的终边相同，且．
2、终边在坐标轴上的点：
终边在x轴上的角的集合：
终边在y轴上的角的集合：
终边在坐标轴上的角的集合：
3、终边共线且反向的角：
终边在y=x轴上的角的集合：
终边在轴上的角的集合：
4、终边互相对称的角：
若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：
若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：
若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：
角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：
例1、若，则角与角的中变得位置关系是（）。
A.重合B.关于原点对称C.关于x轴对称D.有关于y轴对称
二、弧度与弧度制
1、弧度与弧度制：
弧度制—另一种度量角的单位制，它的单位是rad读作弧度
定义：
长度等于的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
o
r
C
2rad
1rad
r
l=2r
o
A
A
B
如图：
ÐAOB=1rad，ÐAOC=2rad，周角=2prad
注意：
1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
2、角a的弧度数的绝对值（为弧长，为半径）
3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。
2、角度制与弧度制的换算
弧度定义：
对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度
角度与弧度的互换关系：
∵360°=rad180°=rad
∴1°=
注意：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
例1、把化成弧度例例2、把化成度
例3、将下列各角从弧度化成角度
（1）rad
（2）2.1rad （3）
3、弧长公式和扇形面积公式
；
练习题
一、选择题
1、下列角中终边与330°相同的角是（）
A．30°B．-30°C．630°D．-630°
2、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°,k∈Z）的形式是（）
A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360°
3、终边在第二象限的角的集合可以表示为：
（）
A．｛α∣90°<α<180°｝
B．｛α∣90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z｝
C．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z｝
D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝
4、下列命题是真命题的是（）
Α．三角形的内角必是一、二象限内的角
B．第一象限的角必是锐角
C．不相等的角终边一定不同D．=
5、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）
A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C
6、在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是（）
A.① B.①② C.①②③ D.①②③④
7、若α是第一象限的角，则-是（）
A.第一象限的角 B.第一或第四象限的角
C.第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角
8、下列结论中正确的是（）
A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角
C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等
9、集合A={α｜α=k·90°,k∈N+}中各角的终边都在（）
A.x轴的正半轴上 B.y轴的正半轴上
C.x轴或y轴上 D.x轴的正半轴或y轴的正半轴上
10、α是一个任意角，则α与-α的终边是（）
A.关于坐标原点对称 B.关于x轴对称C.关于直线y=x对称D.关于y轴对称
11、集合X={x｜x=（2n+1）·180°,n∈Z}，与集合Y={y｜y=（4k±1）·180°,k∈Z}之间的关系是（）
A.XY B.XY C.Ｘ=Y D.X≠Y
12、设α、β满足-180°＜α＜β＜180°，则α-β的范围是（）
A.-360°＜α-β＜0° B.-180°＜α-β＜180°
C.-180°＜α-β＜0° D.-360°＜α-β＜360°
13、下列命题中的真命题是 （）
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B．第一象限的角是锐角
C．第二象限的角比第一象限的角大
D．角α是第四象限角的充要条件是2kπ－＜α＜2kπ（k∈Z）
14、设k∈Z，下列终边相同的角是 （）
A．（2k+1）·180°与（4k±1）·180° B．k·90°与k·180°+90°
C．k·180°+30°与k·360°±30° D．k·180°+60°与k·60°
15、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （）
A．2 B． C． D．
16、设角的终边上一点P的坐标是，则等于 （）
A． B．
C． D．
17、若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边 （）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．以上都不对
18、设集合M={α|α=，k∈Z}，N={α|－π＜α＜π，则M∩N等于 （）
A．{－} B．{－}
C．{－} D．{}
19、“”“A=30º”的 （）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
20、中心角为60°的扇形，它的弧长为2，则它的内切圆半径为 （）
A．2 B． C．1 D．
21、设集合M={α|α=kπ±，k∈Z}，N={α|α=kπ+（－1）k，k∈Z}那么下列结论中正确的是 （）
A．M=N B．MN C．NM D．MN且NM
二、填空题
22、若角α是第三象限角，则角的终边在.
23、与－1050°终边相同的最小正角是.
24、已知是第二象限角，且则的范围是.
任意角的三角函数练习题
一、选择题
1.设角属于第二象限，且，则角属于（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.给出下列各函数值：
①；②；③；④.其中符号为负的有（）
A.①B.②C.③D.④
3.等于（）
A.B.C.D.
4.已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（）
A.B.C.D.
5．若θ∈（，），则等于
A.cosθ－sinθ B.sinθ＋cosθ
C.sinθ－cosθ D.－cosθ－sinθ
6．若tanθ＝，则cos2θ＋sinθcosθ的值是
A.－ B.－C. D.
二、填空题
1.设分别是第二、三、四象限角，则点分别在第___、___、___象限.
2.设和分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：
①；②；③；④，
其中正确的是_____________________________.
3．若角α的终边在直线y＝－x上，则＝.
4．使tanx－有意义的x的集合为.
5．已知α是第二象限的角，且cos＝－，则是第象限的角.
三、解答题
1.已知是关于的方程的两个实根，且，求的值.
2.设cosθ＝（m＞n＞0），求θ的其他三角函数值.
3．证明
（1）＝
（2）tan2θ－sin2θ＝tan2θsin2θ
4.已知，
求
（1）；
（2）的值.
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