专题：椭圆的离心率解法大全.doc
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专题：
椭圆的离心率
一，利用定义求椭圆的离心率（或）
1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率
2，椭圆的离心率为，则
[解析]当焦点在轴上时，；当焦点在轴上时，，
综上或3
3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是
4，已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆的离心率为
[解析]由，椭圆的离心率为
5，已知则当mn取得最小值时，椭圆的的离心率为
6，设椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是。
二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率
1，在ABC中，，，如果一个椭圆过A、B两点，它的一个焦点为C，另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率
2，如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为（）
[解析]
3，以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点，椭圆的左焦点为F1，直线MF1与圆相切，则椭圆的离心率是
变式
（1）：
以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是
4,椭圆+=1（a>b>0）的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？
解：
∵｜F1F2｜=2c｜BF1｜=c｜BF2｜=cc+c=2a∴e==-1
变式
（1）：
椭圆+=1（a>b>0）的两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，使△OPF1为正三角形，求椭圆离心率？
解：
连接PF2,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2=90°图形如上图，e=-1
变式
（2）椭圆+=1（a>b>0）的两焦点为F1、F2，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥X轴，PF2∥AB,求椭圆离心率？
解：
∵｜PF1｜=｜F2F1｜=2c｜OB｜=b｜OA｜=aPF2∥AB∴=又∵b=
∴a2=5c2e=
变式（3）:
将上题中的条件“PF2∥AB”变换为“∥（为坐标原点）”
相似题：
椭圆+=1（a>b>0），A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?
解：
｜AO｜=a｜OF｜=c｜BF｜=a｜AB｜=
a2+b2+a2=（a+c）2=a2+2ac+c2a2-c2-ac=0两边同除以a2e2+e-1=0e=e=（舍去）
变式
（1）:
椭圆+=1（a>b>0），e=,A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求∠ABF？
点评：
此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。
答案：
90°
引申：
此类e=的椭圆为优美椭圆。
性质：
（1）∠ABF=90°
（2）假设下端点为B1,则ABFB1四点共圆。
（3）焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。
变式
（2）:
椭圆（a＞b＞0）的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率e=．
提示：
内切圆的圆心即原点，半径等于c，又等于直角三角形AOB斜边上的高，∴由面积得：
，但
4，设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。
解：
设
法1：
利用椭圆范围。
由得，将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得。
由椭圆的性质知，得。
附：
还可以用参数的方法也能求出离心率的范围（与法1类似）
法2：
判别式法。
由椭圆定义知，又因为，
可得，则，
，是方程的两个根，则
解法3：
正弦定理
设记
又因为，且则
则，
所以
解法5：
利用基本不等式由椭圆定义，有平方后得
解法6：
巧用图形的几何特性
由，知点P在以为直径的圆上。
又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P，故有
变式
（1）：
圆+=1（a>b>0）的两焦点为F1（-c，0）、F2（c,0），P是以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF1F2=5∠PF2F1,求椭圆的离心率e
分析：
此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。
解：
由正弦定理：
=
根据和比性质：
=变形得：
==e
∠PF1F2=75°∠PF2F1=15°e==
点评：
在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=
变式
（2）：
椭圆+=1（a>b>0）的两焦点为F1（-c，0）、F2（c,0），P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，求椭圆离心率e的取值范围？
分析：
上题公式直接应用。
解：
设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-αe===
≥∴≤e<1
变式（3）：
过椭圆（）的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率e的值
解析：
因为，再由有从而得
变式（4）：
若为椭圆的长轴两端点，为椭圆上一点，使，求此椭圆离心率的最小值。
{}
变式（5）：
8、椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则椭圆的离心率的取值范围为
解析：
设为椭圆左焦点，因为对角线互相平分，所以四边形为平行四边形且为矩形，，，，所以，由得。
x
y
A1
B2
A2
O
T
M
6，如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为.
直线的方程为，直线的方程为，两式联立得T的坐标，所以中点M的坐标为，因为点M在椭圆上，代人方程得则所以
7，椭圆+=1（a>b>0）的两焦点为F1（-c，0）、F2（c,0），满足1·2=0的点M总在椭圆内部，则e的取值范围？
F2
M
F1
O
分析：
∵1·2=0∴以F1F2为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。
解：
∴c2c2∴0如图所示,画图可知点的轨迹是以为直径的圆，则它在椭圆内部,故,
8，椭圆+=1（a>b>0）的两焦点为F1（-c，0）、F2（c,0），P为右准线L：
x=上一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，求e的取值范围？
分析：
思路1,如图F1P与F2M垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。
M
P
F2
F1
O
思路2：
根据图形中的边长之间的不等关系，求e
解法一：
F1（-c，0）F2（c,0）P（,y0）M（,）
既（,）则1=-（+c,y0）
2=-（-c,）1·2=0（+c,y0）·（-c,）=0
（+c）·（-c）+=0a2-3c2≤0∴≤e<1
解法2：
｜F1F2｜=｜PF2｜=2c｜PF2｜≥-c则2c≥-c3c≥3c2≥a2则≤e<1
总结：
对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。
所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。
9，如图，正六边形ABCDEF的顶点A、D为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B、C、E、F均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是
解：
以AD所在直线为X轴，AD中点为坐标原点建立坐标系。
设正六边形的边长为r，则椭圆的半焦距，易知ΔAOF为等边三角形，∴F（，代入椭圆方程中，得：
，
∴，即：
，
又
法二：
如图，连结AE，易知，设，由椭圆定义，
有：
，，∴
10，椭圆+=1（a>b>0），过左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB两点，若｜F1A｜=2｜BF1｜,求椭圆的离心率e的值
解：
设｜BF1｜=m则｜AF2｜=2a-am｜BF2｜=2a-m
在△AF1F2及△BF1F2中，由余弦定理得：
两式相除=e=
练习题：
1，椭圆上有一点M，是椭圆的两个焦点，若，求椭圆的离心率.
解析:
由椭圆的定义，可得又，所以是方程的两根，由，可得，即所以，所以椭圆离心率的取值范围是
2，在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．
[解析]
3，已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若,则此椭圆的离心率为_________.
[解析][三角形三边的比是]
4，在平面直角坐标系中，椭圆1（0）的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=．
[解析]
5，在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．
【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率
[解析]，，
6，已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为．
[解析]∵在中，由正弦定理得，则由已知，得，即，∴，由椭圆的定义知，∴，
即，由解法三知∴椭圆的离心率。
7，已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任意一点，且的最大值的取值范围是，其中，则该椭圆的离心率的取值范围为．
[解析]：
设，则，而
∴的最大值为，
∴
8，在平面直角坐标系中，椭圆1（0）的焦距为2，以O为圆心，为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=
9，设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（ A ）
Ａ．必在圆内 Ｂ．必在圆上
Ｃ．必在圆外 Ｄ．以上三种情形都有可能
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