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专题:椭圆的离心率解法大全.doc

1、专题:椭圆的离心率一,利用定义求椭圆的离心率( 或 )1,已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率 2,椭圆的离心率为,则 解析当焦点在轴上时,; 当焦点在轴上时,综上或33,已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则椭圆的离心率是4,已知m,n,m+n成等差数列,m,n,mn成等比数列,则椭圆的离心率为 解析由,椭圆的离心率为5,已知则当mn取得最小值时,椭圆的的离心率为6,设椭圆=1(ab0)的右焦点为F1,右准线为l1,若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离,则椭圆的离心率是。二,运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率1,在ABC中,如果一个椭圆过A、B两

2、点,它的一个焦点为C,另一个焦点在AB上,求这个椭圆的离心率 2, 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为( ) 解析 3,以椭圆的右焦点F2为圆心作圆,使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点,椭圆的左焦点为F1,直线MF1与圆相切,则椭圆的离心率是变式(1):以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆,使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点,如果MF=MO,则椭圆的离心率是4,椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 、F2 ,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的两边,则椭圆的离心率e?解:F1F2=2c BF1=c BF2=c c+c=2a

3、 e= = -1 变式(1):椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 、F2 ,点P在椭圆上,使OPF1 为正三角形,求椭圆离心率? 解:连接PF2 ,则OF2=OF1=OP,F1PF2 =90图形如上图,e=-1 变式(2) 椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 、F2 ,AB为椭圆的顶点,P是椭圆上一点,且PF1 X轴,PF2 AB,求椭圆离心率? 解:PF1= F2 F1=2c OB=b OA=a PF2 AB = 又 b= a2=5c2 e=变式(3):将上题中的条件“PF2 AB”变换为“(为坐标原点)” 相似题:椭圆 +=1(ab 0),A是左顶点,F是右焦点,B是短轴的一个顶点

4、,ABF=90,求e? 解:AO=a OF=c BF=a AB=a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e= e=(舍去)变式(1):椭圆 +=1(ab 0),e=, A是左顶点,F是右焦点,B是短轴的一个顶点,求ABF?点评:此题是上一题的条件与结论的互换,解题中分析各边,由余弦定理解决角的问题。答案:90引申:此类e=的椭圆为优美椭圆。性质:(1)ABF=90(2)假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。(3)焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。变式(2): 椭圆(ab0)的四个顶点为A、B、C、D,若四边形AB

5、CD的内切圆恰好过椭圆的焦点,则椭圆的离心率e = 提示:内切圆的圆心即原点,半径等于c,又等于直角三角形AOB斜边上的高,由面积得:,但4,设椭圆的左、右焦点分别为,如果椭圆上存在点P,使,求离心率e的取值范围。解:设法1:利用椭圆范围。由得,将这个方程与椭圆方程联立,消去y,可解得。由椭圆的性质知,得。附:还可以用参数的方法也能求出离心率的范围(与法1类似)法2:判别式法。由椭圆定义知,又因为,可得,则,是方程的两个根,则解法3:正弦定理设记 又因为,且 则 则, 所以解法5:利用基本不等式由椭圆定义,有平方后得解法6:巧用图形的几何特性由,知点P在以为直径的圆上。又点P在椭圆上,因此该圆

6、与椭圆有公共点P,故有变式(1):圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 (-c,0)、F2 (c,0),P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点,且PF1F2 =5PF2F1 ,求椭圆的离心率e分析:此题有角的值,可以考虑正弦定理的应用。解:由正弦定理: = 根据和比性质:= 变形得: =ePF1F2 =75PF2F1 =15 e= =点评:在焦点三角形中,使用第一定义和正弦定理可知e=变式(2):椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 (-c,0)、F2 (c,0),P是椭圆上一点,且F1PF2 =60,求椭圆离心率e的取值范围?分析:上题公式直接应用。解:设F1F2P=,则F2F1P=12

7、0- e= eb 0)的两焦点为F1 (-c,0)、F2 (c,0),满足12 =0的点M总在椭圆内部,则e的取值范围?F2MF1O分析:12 =0以F1F2 为直径作圆,M在圆O上,与椭圆没有交点。解:c2c2 0eb 0)的两焦点为F1 (-c,0)、F2 (c,0),P为右准线L:x=上一点,F1P的垂直平分线恰过F2 点,求e的取值范围?分析:思路1,如图F1P与 F2M 垂直,根据向量垂直,找a、b、c的不等关系。MPF2F1O 思路2:根据图形中的边长之间的不等关系,求e解法一:F1 (-c,0) F2 (c,0) P(,y0 ) M(,)既(, ) 则1 =-( +c, y0 )

8、 2 =-( -c, ) 12 =0( +c, y0 ) ( -c, )=0 ( +c)( -c)+ =0a2-3c20 e1解法2:F1F2=PF2=2c PF2-c 则2c-c 3c 3c2a2 则eb 0),过左焦点F1 且倾斜角为60的直线交椭圆与AB两点,若F1A=2BF1,求椭圆的离心率e的值解:设BF1=m 则AF2=2a-am BF2=2a-m在AF1F2 及BF1F2 中,由余弦定理得:两式相除 =e=练习题:1,椭圆上有一点M,是椭圆的两个焦点,若,求椭圆的离心率.解析: 由椭圆的定义,可得 又,所以是方程的两根,由, 可得,即所以,所以椭圆离心率的取值范围是2,在中,若以

9、为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率 解析3,已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为 _. 解析 三角形三边的比是4,在平面直角坐标系中,椭圆1( 0)的焦距为2,以O为圆心,为半径的圆,过点作圆的两切线互相垂直,则离心率= 解析5, 在中,若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率 【解题思路】由条件知三角形可解,然后用定义即可求出离心率解析 ,6,已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆上存在一点使,则该椭圆的离心率的取值范围为 解析 在中,由正弦定理得,则由已知,得,即,由椭圆的定义知 ,即,由解法三知椭圆的离心率。7,已知椭圆的左、右焦点分别为,为椭圆上任意一点,且的最大值的取值范围是,其中,则该椭圆的离心率的取值范围为 解析:设,则,而,的最大值为,8,在平面直角坐标系中,椭圆1( 0)的焦距为2,以O为圆心,为半径作圆,过点作圆的两切线互相垂直,则离心率= 9,设椭圆的离心率为,右焦点为,方程 的两个实根分别为和,则点(A)必在圆内必在圆上必在圆外以上三种情形都有可能7

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