上海市闵行区2016届高考数学一模试卷(理科)(解析版).doc

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2016上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．若复数z满足（i为虚数单位），则|z|　　　　　　．

2．若全集U=R，函数的值域为集合A，则∁UA=　　　　　　．

3．方程4x﹣2x﹣6=0的解为　　　　　　．

4．函数的最小正周期t=　　　　　　．

5．不等式＞|x|的解集为　　　　　　．

6．已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于　　　　　　．

7．已知△ABC中，，，其中是基本单位向量，则△ABC的面积为　　　　　　．

8．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有　　　　　　种．

9．若Sn是等差数列{an}的前n项和，且，则=　　　　　　．

10．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于　　　　　　．

11．若点P、Q均在椭圆（a＞1）上运动，F1、F2是椭圆Γ的左、右焦点，则的最大值为　　　　　　．

12．已知函数，若实数a、b、c互不相等，且满足f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是　　　　　　．

13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：

设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π=3.14159…，若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为　　　　　　．

14．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*，且（an+1﹣p）（an﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是　　　　　　．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．若a，b∈R，且ab＞0，则“a=b”是“等号成立”的（　　）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既非充分又非必要条件

16．设f（x）=2+5x+10x2+10x3+5x4+x5，则其反函数的解析式为（　　）

A． B． C． D．

17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则角A的范围是（　　）

A． B． C． D．

18．函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣1，2]，图象如图2所示．A={x|f（g（x））=0}，B={x|g（f（x））=0}，则A∩B中元素的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=AB=2，BC=1，，D为棱AA1中点，证明异面直线B1C1与CD所成角为，并求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．

20．如图，点A、B分别是角α、β的终边与单位圆的交点，．

（1）若，，求sin2β的值；

（2）证明：

cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ．

21．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p．

（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；

（2）若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．

22．已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线E：

y2=4x的焦点重合．

（1）求椭圆Γ的方程；

（2）斜率为k的直线l过点F（1，0），且与抛物线E交于A、B两点，设点P（﹣1，k），△PAB的面积为，求k的值；

（3）若直线l过点M（0，m）（m≠0），且与椭圆Γ交于C、D两点，点C关于y轴的对称点为Q，直线QD的纵截距为n，证明：

mn为定值．

23．已知数列{an}的各项均为整数，其前n项和为Sn．规定：

若数列{an}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{an}为“r关联数列”．

（1）若数列{an}为“6关联数列”，求数列{an}的通项公式；

（2）在

（1）的条件下，求出Sn，并证明：

对任意n∈N*，anSn≥a6S6；

（3）已知数列{an}为“r关联数列”，且a1=﹣10，是否存在正整数k，m（m＞k），使得a1+a2+…+ak﹣1+ak=a1+a2+…+am﹣1+am？

若存在，求出所有的k，m值；若不存在，请说明理由．

2016上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．若复数z满足（i为虚数单位），则|z|　2　．

【考点】复数求模．

【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．

【分析】根据复数的四则运算先化简复数，然后计算复数的长度即可

【解答】解：

∵，

∴﹣z=i+1，

∴z=﹣1﹣i，

∴|z|==2，

故答案为：

2．

【点评】本题主要考查复数的计算，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，比较基础．

2．若全集U=R，函数的值域为集合A，则∁UA=　（﹣∞，0）　．

【考点】补集及其运算．

【专题】计算题．

【分析】求出函数的值域确定出A，根据全集U=R，找出A的补集即可．

【解答】解：

函数y=x≥0，得到A=[0，+∞），

∵全集U=R，

∴∁UA=（﹣∞，0）．

故答案为：

（﹣∞，0）

【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．

3．方程4x﹣2x﹣6=0的解为　log23　．

【考点】指数式与对数式的互化；二次函数的性质．

【专题】计算题．

【分析】由4x﹣2x﹣6=0，得（2x）2﹣2x﹣6=0，由此能求出方程4x﹣2x﹣6=0的解．

【解答】解：

由4x﹣2x﹣6=0，得

（2x）2﹣2x﹣6=0，

解得2x=3，或2x=﹣2（舍去），

∴x=log23．

故答案为：

log23．

【点评】本题考查指数方程的解法，解题时要认真审题，注意指数式和对数式的互化．

4．函数的最小正周期t=　π　．

【考点】二阶行列式的定义；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．

【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；矩阵和变换．

【分析】利用二阶行列式展开式法则和余弦函数二倍角公式求解．

【解答】解：

函数

=cos（π﹣x）cosx﹣sin（π+x）sinx

=﹣cos2x+sin2x

=﹣cos2x，

∴函数的最小正周期t==π．

故答案为：

π．

【点评】本题考查三角函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则的合理运用．

5．不等式＞|x|的解集为　（0，2）　．

【考点】其他不等式的解法．

【专题】不等式的解法及应用．

【分析】不等式即＞0，显然x＜0时不成立．当x＞0时，根据＜0，求得不等式的解集．

【解答】解：

当x＜0时，＞﹣x，即＞0，显然x＜0时不成立．

当x＞0时，＜0，解得0＜x＜2，所以不等式的解集为（0，2），

故答案为：

（0，2）．

【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．

6．已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于　15π　．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

【专题】空间位置关系与距离．

【分析】根据圆锥的体积计算出圆锥的高，以及圆锥的母线，进而求出圆锥的侧面积．

【解答】解：

设圆锥的高为h，底面半径为r，

∵圆锥的底面半径为3，体积是12π，

∴，

即h=4，

∴圆锥的母线长l=，

∴圆锥的侧面积S=πrl=3×5π=15π，

故答案为：

15π．

【点评】本题主要考查圆锥的体积和侧面积的计算，要求熟练掌握圆锥的体积和侧面积公式．

7．已知△ABC中，，，其中是基本单位向量，则△ABC的面积为　　．

【考点】三角形的面积公式．

【专题】转化思想；综合法；解三角形．

【分析】根据平面向量的数量积以及坐标运算，求出向量的模长，判断三角形是直角三角形，求出面积即可．

【解答】解：

根据题意，得：

=（4，3），=（﹣3，4），

∴=﹣=（﹣7，1），

∴2=42+32=25，2=（﹣3）2+42=25，2=（﹣7）2+12=50；

∴||2=||2+||2，

△ABC是直角三角形，它的面积为S=×5×5=．

故答案为：

．

【点评】本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据平面向量的数量积以及坐标运算，进行解答，是基础题．

8．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有　10　种．

【考点】排列、组合的实际应用．

【专题】计算题；方程思想；综合法；排列组合．

【分析】分类讨论：

选择两门理科学科，一门文科学科；选择三门理科学科，即可得出结论．

【解答】解：

选择两门理科学科，一门文科学科，有C32C31=9种；选择三门理科学科，有1种，

故共有10种．

故答案为：

10．

【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．

9．若Sn是等差数列{an}的前n项和，且，则=　5　．

【考点】数列的极限．

【专题】方程思想；分析法；等差数列与等比数列．

【分析】设等差数列{an}的公差为d，运用等差数列的求和公式，计算可得d=10，再由=0，计算即可得到所求值．

【解答】解：

设等差数列{an}的公差为d，

即有Sn=na1+n（n﹣1）d，

即=a1+d（n﹣1），

由，可得

a1+d=a1+d+10，

解得d=10，

则==5+，

即有=（5+）=5+

=5+0=5．

故答案为：

5．

【点评】本题考查等差数列的求和公式的运用，考查数列极限的求法，注意运用数列极限公式，属于中档题．

10．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于　1　．

【考点】抽象函数及其应用．

【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．

【分析】先由f（1+x）=f（1﹣x）得到f（x）的图象关于直线x=1轴对称，进而求得a=1，再根据题中所给单调区间，求出m≥1．

【解答】解：

因为f（1+x）=f（1﹣x），

所以，f（x）的图象关于直线x=1轴对称，

而f（x）=2|x﹣a|，所以f（x）的图象关于直线x=a轴对称，

因此，a=1，f（x）=2|x﹣1|，

且该函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，