上海市松江区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案).doc

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松江区2018学年度第一学期期末质量监控试卷

高三数学

（满分150分，完卷时间120分钟）2018．12

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．

1．设集合，，则▲．

2．若复数满足，则▲．

3．已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，且点在函数的图像上，则实数▲．

4．已知等差数列的前10项和为30，则▲．

5．若增广矩阵为的线性方程组无解，则实数的值为▲．

6．已知双曲线标准方程为，则其焦点到渐近线的距离为▲．

7．若向量，满足，且，，则向量与夹角为▲．

8．在中，内角、、所对的边分别是、、,若，则的面积▲．

9．若函数，则图像上关于原点对称的点共有▲对．

10．已知、、是单位圆上三个互不相同的点，若，则的最小值是▲．

11．已知向量，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，则称有序实数对为点的广义坐标．若点的广义坐标分别为．对于下列命题：

①线段的中点的广义坐标为；

②两点间的距离为；

③向量平行于向量的充要条件是；

④向量垂直于向量的充要条件是．

其中的真命题是▲．（请写出所有真命题的序号）

12．已知函数的定义域为，且和对任意的都成立．若当时，的值域为，则当时，函数的值域为▲．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．

13．过点且与直线垂直的直线方程是

A．B．             

C．    D． 

14．若，，则是的

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分又非必要条件

15．将函数的图像向下平移1个单位，得到的图像，若，其中，则的最大值为

A． B． C． D．

16．对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作．若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为

A．B．

C．D．

三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

已知向量，．

（1）若∥，求的值；

（2）若，求函数的最小正周期及当时的最大值．

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

已知函数（常数）

（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；

（2）当为奇函数时，若对任意的，都有成立，求的最大值．

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分

某科技创新公司投资400万元研发了一款网络产品，产品上线第1个月的收入为40万元，预计在今后若干个月内,该产品每月的收入平均比上一月增长50%．同时，该产品第1个月的维护费支出为100万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加50万元．

（1）分别求出第6个月该产品的收入和维护费支出，并判断第6个月该产品的收入是否足够支付第6个月的维护费支出？

（2）从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？

（总支出包括维护费支出和研发投资支出）

20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分

已知曲线上的任意一点到两定点、的距离之和为，直线交曲线于、两点，为坐标原点．

（1）求曲线的方程；

（2）若不过点且不平行于坐标轴，记线段的中点为．求证：

直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

（3）若，求面积的取值范围．

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

对于给定数列，若数列满足：

对任意，都有，则称数列是数列的“相伴数列”．

（1）若，且数列是的“相伴数列”，试写出的一个通项公式，并说明理由；

（2）设，证明：

不存在等差数列，使得数列是的“相伴数列”；

（3）设，（其中），若是的“相伴数列”，试分析实数的取值应满足的条件．

2018.12

松江区2018学年度第一学期高三期末考试

数学试卷参考答案

一、填空题

1．；2．1；3．2；4．12；

5．-1；6．1；7．8．

9．4；10．；11．①③；12．；

12．令，则有，即

当时，，又，∴

即当时，的值域为

∴当时，的值域为

∵

∴当时，的值域为，时，的值域为，

依此类推可知，当时，的值域为，

∴当时，的值域为

又，，当时，，

∴

综上，当时，函数的值域为.

二、选择题

13．A14．B15．A16．D

17．解：

（1）由得,，……………………………………2分

∴……………………………………………4分

∴……………………………………………6分

（2）………………………………………8分

…………………………………10分

∴函数的最小正周期为…………………………………12分

当时，

∴当，即时，…………………………………14分

18．解：

（1）若为奇函数，必有得，……………………2分

当时，，

∴当且仅当时，为奇函数………………………4分

又，，∴对任意实数，都有

∴不可能是偶函数………………………6分

（2）由条件可得：

恒成立，……8分

记，则由得，………………………10分

此时函数在上单调递增，………………………12分

所以的最小值是，………………………13分

所以，即的最大值是………………………14分

19．解：

记产品从第一个月起，每个月的收入为数列，每个月的维护费支出为数列，

则，………………………4分

（1）第6个月的收入为：

万元，

第6个月的维护费为：

万元，………………………6分

∴第6个月的收入还不足以支付第6个月的维护费………………………7分

（2）到第个月，该产品的总收入为…………9分

该产品的总支出为…………11分

由题意知，只需，即…………12分

由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=10.

∴从第10个月起，该产品的总收入首次超过总支出………………14分

注：

20.解：

（1）由题意知曲线是以原点为中心，长轴在轴上的椭圆，…………1分

设其标准方程为，则有，

所以，∴…………4分

（2）证明：

设直线的方程为，……………………5分

设

则由可得，即

∴，∴……………………8分

，

，……………………9分

∴直线的斜率与的斜率的乘积=为定值…………10分

（3）解法一：

设

则由知，，即，∴………11分

………12分

因、两点在椭圆上，有

即也即

得∴…………………13分

又由得

∴∴…………………15分

∴…………………………………………16分

解法二：

当直线、分别与坐标轴重合时，易知的面积，…11分

当直线、的斜率均存在且不为零时，设直线、的方程为：

、，点，

由可得，

∴，代入得…………………………………12分

同理可得，

∴…………………………………………13分

令，，

则………14分

由知…………………………………………15分

综上可知，…………………………………………16分

21．解：

（1），…………………………………………2分

此时，

所以是数列的“相伴数列”．…………………………………………4分

注：

答案不唯一，只需是正负相间的数列．

（2）证明，假设存在等差数列是的“相伴数列”，则有…………5分

若，则由得…①，

又由得

又因为是等差数列，所以，得，与①矛盾…………7分

同理，当，则由得…②，

又由得

又因为是等差数列，所以，得，与②矛盾……………9分

所以，不存在等差数列，使得数列是的“相伴数列”………………10分

（3）由于，易知且，

①当时，，由于对任意，都有，

故只需，………………12分

由于，所以当时，，

故只需当时，，

即对恒成立，得；………………13分

②当时，

，，与矛盾，不符合题意；……14分

③当时，，

当时，，

故只需当时，，

即对恒成立，得；……………15分

④当时，，则，

下证只需：

若，则，

当时，，

当时，，

符合题意．……………17分

综上所述，实数的取值应满足的条件为：

或………………18分

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