三角函数知识点归纳.doc
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三角函数
一、任意角、弧度制及任意角的三角函数
1．任意角
（1）角的概念的推广
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．
第一象限角的集合为
第二象限角的集合为
第三象限角的集合为
第四象限角的集合为
终边在轴上的角的集合为
终边在轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
（2）终边与角α相同的角可写成α＋k·360°（k∈Z）．终边与角相同的角的集合为
（3）弧度制
①1弧度的角：
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②弧度与角度的换算：
360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
③半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是
④若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．
2．任意角的三角函数定义
设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P（x，y），它与原点的距离为，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：
sinα＝，cosα＝，tanα＝．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：
一全正、二正弦、三正切、四余弦）
3．特殊角的三角函数值
角度
函数
0
30
45
60
90
120
135
150
180
270
360
角a的弧度
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
3π/2
2π
sina
0
1/2
√2/2
√3/2
1
√3/2
√2/2
1/2
0
-1
0
cosa
1
√3/2
√2/2
1/2
0
-1/2
-√2/2
-√3/2
-1
0
1
tana
0
√3/3
1
√3
-√3
-1
-√3/3
0
0
二、同角三角函数的基本关系与诱导公式
A.基础梳理
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：
sin2α＋cos2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）
（2）商数关系：
＝tanα.（3）倒数关系：
2．诱导公式
公式一：
sin（α＋2kπ）＝sinα，cos（α＋2kπ）＝cos_α，其中k∈Z.
公式二：
sin（π＋α）＝－sin_α，cos（π＋α）＝－cos_α，tan（π＋α）＝tanα.
公式三：
sin（π－α）＝sinα，cos（π－α）＝－cos_α，．
公式四：
sin（－α）＝－sin_α，cos（－α）＝cos_α，.
公式五：
sin＝cos_α，cos＝sinα.
公式六：
sin＝cos_α，cos＝－sin_α.
诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式．口诀：
奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变（正弦变余弦，余弦变正弦）；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：
把α看成锐角时，根据k·±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结果符号．
B.方法与要点
一个口诀
1、诱导公式的记忆口诀为：
奇变偶不变，符号看象限．
2、四种方法
在求值与化简时，常用方法有：
（1）弦切互化法：
主要利用公式tanα＝化成正、余弦．
（2）和积转换法：
利用（sinθ±cosθ）2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．
（、、三个式子知一可求二）
（3）巧用“1”的变换：
1＝sin2θ＋cos2θ=sin＝tan
（4）齐次式化切法：
已知，则
三、三角函数的图像与性质
学习目标：
1会求三角函数的定义域、值域
2会求三角函数的周期：
定义法，公式法，图像法（如与的周期是）。
3会判断三角函数奇偶性
4会求三角函数单调区间
5知道三角函数图像的对称中心，对称轴
6知道，，的简单性质
（一）知识要点梳理
1、正弦函数和余弦函数的图象：
正弦函数和余弦函数图象的作图方法：
五点法：
先取横坐标分别为0，的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
2、正弦函数、余弦函数的性质：
（1）定义域：
都是R。
（2）值域：
都是，
对，当时，取最大值1；当时，取最小值－1；
对，当时，取最大值1，当时，取最小值－1。
（3）周期性：
，的最小正周期都是2；
（4）奇偶性与对称性：
①正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；
②余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线；（正（余）弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点）。
（5）单调性：
上单调递增，在单调递减；
在上单调递增,在上单调递减。
特别提醒，别忘了！
3、正切函数的图象和性质：
（1）定义域：
。
（2）值域是R，无最大值也无最小值；
（3）奇偶性与对称性：
是奇函数，对称中心是，特别提醒：
正（余）切型函数的对称中心有两类：
一类是图象与轴的交点，另一类是渐近线与轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。
（4）单调性：
正切函数在开区间内都是增函数。
但要注意在整个定义域上不具有单调性。
4、正弦、余弦、正切函数的图像和性质
函
数
性
质
图象
定义域
值域
最值
当时，；当
时，．
当时，
；当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；在
上是减函数．
在上是增函数；在
上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
5、研究函数性质的方法：
类比于研究的性质，只需将中的看成中的。
函数y＝Asin（wx＋j）（A＞0，w＞0）的性质。
（1）定义域：
R
（2）值域：
[-A,A]
（3）周期性：
①和的最小正周期都是。
②的最小正周期都是。
（4）单调性：
函数y＝Asin（wx＋j）（A＞0，＞0）的
单调增区间可由2k－≤wx＋j≤2k＋，k∈z解得；
单调减区间可由2k＋≤wx＋j≤2k＋，k∈z解得。
在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。
如函数的递减区间是______
（答：
解析：
y=，所以求y的递减区间即是求的递增区间，由得
，所以y的递减区间是
四、函数的图像和三角函数模型的简单应用
一、知识要点
1、几个物理量：
①振幅：
；②周期：
；③频率：
；④相位：
；⑤初相：
．
2、函数表达式的确定：
A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定.
函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．
3、函数图象的画法：
①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：
这是作函数简图常用方法。
4、函数y＝sinx的图象经变换可得到的图象
y=sinx
y=sinxXXXxxx
横坐标
伸（缩）倍
左（右）平移
纵坐标
伸（缩）A倍
y=sinx
左（右）
平移
纵坐标
伸（缩）A倍
横坐标
伸（缩）倍
左（右）
平移
横坐标
伸（缩）倍
横坐标
伸（缩）倍
纵坐标
伸（缩）A倍
横坐标
伸（缩）倍
纵坐标
伸（缩）A倍
左（右）
平移
左（右）平移
纵坐标
伸（缩）A倍
5、函数的图象与图象间的关系：
①函数的图象向左（>0）或向右（<0）平移个单位得的图象；②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；③函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象；④函数图象向上（）或向下（）平移个单位，得到的图象。
要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位，
如要得到函数y＝sin（2x－）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（ ）
（A）向左平移个单位 （B）向右平移个单位
（C）向左平移个单位 （D）向右平移个单位
6、函数y＝Acos（wx＋j）和y=Atan（wx＋j）的性质和图象的变换与y＝Asin（wx＋j）类似。
三角恒等变换
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴；⑵；
⑶；⑷；
⑸（）；
⑹（）．
如；（答案：
）
2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴．
如cos2＋cos2＋coscos的值等于；（答案：
）
⑵
升幂公式
降幂公式，．
⑶．
3、二弦归一把两个三角函数的和或差化为一个三角函数：
，其中．
4、三角变换时运算化简的过程中运用较多的变换，灵活运用三角公式，掌握运算化简的方法．常用的方法技巧如下：
（1）角的变换：
在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如：
①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；
②；问：
；；
③；④；⑤；等等.
如[1].（答案：
）
[2]若cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝－，且＜α－β＜π，＜α＋β＜2π，则cos2α＝_____，cos2β＝_____.
（答案：
－，－1）
[3]已知则；（答案：
）
（2）函数名称变换：
三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名（二弦归一）。
如；
（3）常数代换：
在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：
（4）幂的变换：
降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。
常用降幂公式有：
；。
有时需要升幂，常用升幂公式有：
；.如对无理式常用升幂化为有理式.
（5）公式变形：
三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
如：
；；
；；
；；
；；
；；
；；
；（其中；）
（6）三角函数式的化简运算基本规则：
复角化单角，异角化同角，见切化弦，二弦归一，高次化低次，特殊值与特殊角的三角函数互化。
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