人教B高中数学选修2-1期末测试卷.doc
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宜昌市葛洲坝中学高二年级十二月月考试卷
数学（理科）试题
考试时间：
2012年12月日
命题人：
毛金平
一、选择题（每小题5分，共10小题，满分50分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下面使用类比推理正确的是（）.
A.“若,则”类推出“若,则”
B.“若”类推出“”
C.“若”类推出“（c≠0）”
D.“”类推出“”
2.在正方体中，是棱的中点，则与所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
3.“”是“”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
4.利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1=，（a≠1，n∈N）”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）
（A）1（B）1＋a（C）1＋a＋a2（D）1＋a＋a2＋a3
5.用反证法证明命题：
“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）。
（A）假设三内角都不大于60度；（B）假设三内角都大于60度；
（C）假设三内角至多有一个大于60度；（D）假设三内角至多有两个大于60度。
6.已知△ABC的周长为20，且顶点B（0，－4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是（）
A．（x≠0）B．（x≠0）
C．（x≠0）D．（x≠0）
7..已知椭圆的长轴在轴上，且焦距为，则等于（）
A..B..C..D..
8.某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立.现已知当时该命题不成立，那么可推得 （）
A．当n=6时该命题不成立 B．当n=6时该命题成立
C．当n=8时该命题不成立 D．当n=8时该命题成立
9.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
10.对于抛物线，我们称满足的点在抛物线内部．若点在抛物线内部,则直线与抛物线（）
A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点
C．可能有一个公共点,也可能有两个公共点 D．没有公共点
二、填空题（每小题5分，共5小题，满分25分）
11.已知向量=（0,－1,1），=（4,1,0），且，则=____________.
D
C
B
A
D1
C1
B1
A1
12.若数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出
13．已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，
∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60º，则||= .
14.已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率为___________.
15.下列四个命题中
①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；
②是的充要条件；
③垂直于同一平面的所有向量一定共线；
④对空间任意一点,若满足，则四点一定共面．
其中真命题的为（将你认为是真命题的序号都填上）
三、解答题（共6小题，满分75分）
16.（本题满分12分）已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点,求线段AB的长度.
17.（本题满分12分）经过长期观测得到：
在交通繁忙的时段内，某段公路汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为：
．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？
最大车流量为多少？
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
18.（本题满分12分）
如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.
（1）求证：
BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P—CD—B余弦值的大小；
（3）求点C到平面PBD的距离.
19.（本题满分12分）
已知直线与抛物线相交于,两点，为坐标原点．
（1）当时，证明：
；
（2）若，是否存在实数，使得？
若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
c.o.m
A
B
C
D
E
F
M
N
A/<
20.（本题满分13分）如图，在矩形中，点分别
在线段上，.沿直线将翻折成，使平面面.
（Ⅰ）求二面角的余弦值；
（Ⅱ）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长.
21.（本题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：
是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
高二年级选修2-1理科数学试卷2010.1
参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
C
B
C
D
A
9.C
10.D
二、填空题：
11、312、
13、14、15、①③④
三、解答题：
16、解：
⑴由，长轴长为6
得：
所以
∴椭圆方程为 ………………………………………3分
⑵设,由⑴可知椭圆方程为①,
∵直线AB的方程为② …………………4分
把②代入①得化简并整理得
∴……………………6分
又…………………………8分
18、解：
方法一：
证：
⑴在Rt△BAD中，AD=2，BD=，
∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC.
∵PA⊥平面ABCD，BDÌ平面ABCD，∴BD⊥PA.
又∵PA∩AC=A∴BD⊥平面PAC.
（1）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，
又CD⊥AD，∴CD⊥PD，
知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角.
又∵PA=AD，
∴∠PDA=450.
（3）∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD=，设C到面PBD的距离为d，
y
z
D
P
A
B
C
x
由，有，
即，得
方法二：
证：
（1）建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.………………2分
在Rt△BAD中，AD=2，BD=，
∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
∴B
∵，
即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC.…………4分
（2）由
（1）得.
设平面PCD的法向量为，则，
即，∴故平面PCD的法向量可取为
∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.………………………6分
设二面角P—CD—B的大小为q，依题意可得……………7分
所以，二面角P—CD—B的大小为450．……………8分
（3）由（Ⅰ）得，
设平面PBD的法向量为，
则，即，
∴x=y=z，故可取为.……………10分
∵，∴C到面PBD的距离为…………………12分
19.解：
（1）当时，由得，
解得，…………………………2分
因此．
于是，………………………4分
即．所以．
（2）假设存在实数满足题意，由于两点在抛物线上，故
因此．…………………………5分
所以．…………………………6分
由，即，得．…………………………7分
又当时，经验证直线与抛物线有两个交点，
所以存在实数，使得．…………………………8分
20
（1）
21.解：
（I）解：
因为点B与A关于原点对称，所以点得坐标为.
设点的坐标为
由题意得
化简得.
故动点的轨迹方程为
（II）解法一：
设点的坐标为，点，得坐标分别为,.
则直线的方程为，直线的方程为
令得，.
于是得面积
又直线的方程为，，
点到直线的距离.
于是的面积
当时，得
又，
所以=，解得。
因为，所以
故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.
解法二：
若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为
则.
因为,
所以
所以
即，解得
因为，所以
故存在点S使得与的面积相等，此时点的坐标为.
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