上海市徐汇区2016届高考数学一模试卷(文科)(解析版).doc

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2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷（文科）

一．填空题：

（本题满分56分，每小题4分）

1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的标准方程是　　　　　　．

2．方程的解是　　　　　　．

3．设，则数列{an}的各项和为　　　　　　．

4．函数的单调递增区间是　　　　　　．

5．若函数f（x）的图象与对数函数y=log4x的图象关于直线x+y=0对称，则f（x）的解析式为f（x）=　　　　　　．

6．函数f（x）=|4x﹣x2|﹣a有四个零点，则a的取值范围是　　　　　　．

7．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为　　　　　　．

8．若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点，则行列式的值为　　　　　　．

9．在△ABC中，边BC=2，AB=，则角C的取值范围是　　　　　　．

10．已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，，CD=2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是　　　　　　．

11．（x3+2x+1）（3x2+4）展开后各项系数的和等于　　　　　　．

12．已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{0，1}，则这样的集合D最多有　　　　　　个．

13．正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为　　　　　　．

14．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数，是实数，则S=1+=　　　　　　．

二．选择题：

（本题满分20分，每小题5分）

15．已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是（　　）

A．向量与垂直 B．向量与垂直

C．向量与垂直 D．向量与平行

16．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

17．（文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z=x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（　　）

A． B． C． D．

18．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（　　）

A．﹣4031 B．4031 C．﹣8062 D．8062

三．解答题：

（本大题共5题，满分74分）

19．三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=，SB=．

（1）证明：

SC⊥BC；

（2）求三棱锥的体积VS﹣ABC．

20．已知函数f（x）=sin22x﹣sin2xcos2x．

（1）化简函数f（x）的表达式，并求函数f（x）的最小正周期；

（2）若点A（x0，y0）是y=f（x）图象的对称中心，且，求点A的坐标．

21．已知实数x满足32x﹣4﹣+9≤0且f（x）=log2．

（1）求实数x的取值范围；

（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．

22．数列{an}满足a1=5，且（n≥2，n∈N*）．

（1）求a2，a3，a4；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）令bn=，求数列{bn}的最大值与最小值．

23．某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示：

曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t≤25）；曲线BC是抛物线y=﹣ax2+50（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．假定拟建体育馆的高OB=50（单位：

米，下同）．

（1）若t=20、a=，求CD、AD的长度；

（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围；

（3）若a=，求AD的最大值．

2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一．填空题：

（本题满分56分，每小题4分）

1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的标准方程是　y2=8x　．

【考点】抛物线的简单性质．

【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】先根据准线求出p的值，然后可判断抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上进而可设抛物线的标准形式，将p的值代入可得答案．

【解答】解：

由题意可知：

=2，∴p=4且抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上

故可设抛物线的标准方程为：

y2=2px

将p代入可得y2=8x．

故答案为：

y2=8x．

【点评】本题主要考查抛物线的标准方程．属基础题．

2．方程的解是　x=2　．

【考点】对数的运算性质．

【专题】计算题．

【分析】由方程可得3x﹣5=4，即3x=32，由此求得方程的解．

【解答】解：

由方程可得3x﹣5=4，即3x=32，解得x=2，

故答案为x=2．

【点评】本题主要考查对数方程的解法，对数的运算性质应用，属于基础题．

3．设，则数列{an}的各项和为　　．

【考点】等比数列的前n项和．

【专题】计算题．

【分析】由已知可知=，从而可得数列{an}为公比的等比数列，要求等比数列的各项和，即求前n项和的极限，由求和公式先求前n项和，然后代入求解极限即可

【解答】解：

∵=，

∴=，

则数列{an}是以为首项以为公比的等比数列

∴=

所以数列的各项和S==

故答案为

【点评】本题所涉及的知识：

等比数列定义在判断等比数列中的应用，等比数列的求和公式，等比数列的各项和与前n项和是不同的概念，要注意区别

4．函数的单调递增区间是　[kπ﹣，kπ+]，k∈Z　．

【考点】正弦函数的图象．

【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．

【分析】由条件利用正弦函数的单调性，得出结论．

【解答】解：

对于函数，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，

求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的增区间为，

故答案为：

[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．

【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．

5．若函数f（x）的图象与对数函数y=log4x的图象关于直线x+y=0对称，则f（x）的解析式为f（x）=　y=﹣4﹣x　．

【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象．

【专题】计算题；数形结合．

【分析】先设f（x）上一点（x，y），求这个点关于x+y=0的对称点，则根据题意该对称点在函数y=log4x的图象上，满足函数y=log4x的解析式，从而可求出点（x，y）的轨迹方程

【解答】解：

设函数f（x）的图象上一点（x，y），则点（x，y）关于x+y=0的对称点（x'，y'）在对数函数y=log4x的图象

由题意知，解得x'=﹣y，y'=﹣x

又∵点（x'，y'）在对数函数y=log4x的图象

∴﹣x=log4（﹣y）

∴﹣y=4﹣x∴y=﹣4﹣x故答案为：

y=﹣4﹣x

【点评】本题考查函数的图象与性质，求函数的解析式．解题的关键是会求点个关于直线的对称点．属简单题

6．函数f（x）=|4x﹣x2|﹣a有四个零点，则a的取值范围是　（0，4）　．

【考点】函数的零点与方程根的关系．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】由题意可得，直线y=a和函数y=|4x﹣x2|的图象有4个交点，数形结合求得a的取值范围．

【解答】解：

∵函数f（x）=|4x﹣x2|﹣a有四个零点，故直线y=a和函数y=|4x﹣x2|的图象有4个交点，如图所示：

结合图象可得0＜a＜4，

故答案为（0，4）．

【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．

7．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为　16　．

【考点】基本不等式．

【专题】计算题．

【分析】将x、y∈R+且=1，代入x+y=（x+y）•（），展开后应用基本不等式即可．

【解答】解：

∵=1，x、y∈R+，

∴x+y=（x+y）•（）==10+≥10+2=16（当且仅当，x=4，y=12时取“=”）．

故答案为：

16．

【点评】本题考查基本不等式，着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力，属于中档题．

8．若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点，则行列式的值为　1　．

【考点】二阶矩阵；两条直线的交点坐标．

【专题】计算题；方程思想；综合法；矩阵和变换．

【分析】先由三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点，求出a，再由二阶行列式展开法则能求出的值．

【解答】解：

联立，得x=﹣1，y=﹣1，

∵三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点，

∴直线ax+y+3=0过点（﹣1，﹣1），∴﹣a﹣1+3=0，解得a=2，

∴=a﹣1=2﹣1=1．

故答案为：

1．

【点评】本题考查二阶行列式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则的合理运用．

9．在△ABC中，边BC=2，AB=，则角C的取值范围是　（0，]　．

【考点】余弦定理的应用．

【专题】综合题．

【分析】利用余弦定理构建方程，利用判别式可得不等式，从而可求角C的取值范围．

【解答】解：

由题意，设AC=b，

3=b2+4﹣4bcosC

∴b2﹣4bcosC+1=0

∴△=16cos2C﹣4≥0

∵AB＜BC

∴C不可能是钝角

∴

∴角C的取值范围是（0，]

故答案为：

（0，]

【点评】本题考查余弦定理的运用，考查解不等式，解题的关键是利用余弦定理构建方程，利用判别式得不等式．

10．已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，，CD=2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是　　．

【考点】球面距离及相关计算．

【专题】计算题；方程思想；综合法；球．

【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O为CD的中点，且OA=OB=OC=OD，进而在△A0B中，利用余弦定理求得cos∠AOB的值，则∠AOB可求，进而根据弧长的计算方法求得答案．

【解答】解：

球心到四个顶点距离相等，故球心O在CD中点，则OA=OB=OC=OD=1，

再由AB=，在△A0B中，利用余弦定理cos∠AOB==﹣，

则∠AOB=，则弧AB=•1=．

故答案为：

．

【点评】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等，考查了学生观察分析和基本的运算能力．

11．（x3+2x+1）（3x2+4）展开后各项系数的和等于　28　．

【考点】二项式系数的性质．

【专题】对应思想；转化法；二项式定理．

【分析】根据题意，令x=1，代入多项式即可求出展开式中各项系数的和．

【解答】解：

（x3+2x+1）（3x2+4）展开后含有字母x，

令x=1，则展开式中各项系数的和为：

（13+2×1+1）（3×12+4）=28．

故答案为：

28．

【点评】本题考查了求多项式展开式的各项系数和的应用问题，解题时应利用x=1进行计算，是基础题．

12．已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{0，1}，则这样的集合D最多有　9　个．

【考点】函数的定义域及其求法；二次函数的性质．

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】根据值域中的几个函数值，结合函数表达式推断出定义域中可能出现的几个x值，再加以组合即可得到定义域D的各种情况．

【解答】解：

∵f（x）=