上海市春考数学试卷含答案.docx
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2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试
数学试卷
一、填空题（54分）
1、不等式的解集为______________；
2、计算：
；
3、设集合，，则；
4、若复数（是虚数单位），则；
5、已知是等差数列，若，则；
6、已知平面上动点到两个定点和的距离之和等于4，则动点的轨迹方程为_________；
7、如图，在长方体中，，，，是的中点，则三棱锥的体积为_________；
第7题图第12题图
8、某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为_____________（结果用数值表示）。
9、设，若与的二项展开式中的常数项相等，则；
10、设，若是关于的方程的一个虚根，则的取值范围是________；
11、设，函数，若函数与的图像有且仅有两个不同的公共点，则的取值范围是__________；
12、如图，在正方形的边长为米，圆的半径为1米，圆心是正方形的中心，点、分别在线段、上，若线段与圆有公共点，则称点在点的“盲区”中，已知点以1.5米/秒的速度从出发向移动，同时，点以1米/秒的速度从出发向移动，则在点从移动到的过程中，点在点的盲区中的时长均为_____秒（精确到0.1）.
二．选择题（20分）
13.下列函数中，为偶函数的是（）
ABCD
14.如图，在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线异面的直线的条数为（）
ABCD
15.若数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（）
A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分也不必要条件
16、已知、是平面内两个定点，且，该平面上的动线段的两个端点、满足：
，，，则动线段所围成的面积为（）
A、50B、60C、72D、108
三、解答题（14+14+14+16+18=76分）
17、已知
（1）.若，且，求的值；
（2）.求函数的最小值；
18、已知，双曲线
（1）.若点在上，求的焦点坐标；
（2）.若，直线与相交于两点，若线段中点的横坐标为1，求的值；
19.利用“平行与圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理；某公司用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点、、在抛物线上，是抛物线的对称轴，于，米，米.
（1）求抛物线的焦点到准线的距离；
（2）在图3中，已知平行于圆锥的母线，、是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到）.
20.设，函数
（1）.若，求的反函数
（2）求函数的最大值，（用表示）
（3）设，若对任意恒成立，求的取值范围？
21.若是递增数列，数列满足：
对任意，使得，则称是的“分隔数列”
（1）设，证明：
数列是的分隔数列；
（2）设是的前项和，，判断数列是否是数列的分隔数列，并说明理由；
（3）设是的前项和，若数列是的分隔数列，求实数的取值范围？
2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试
数学试卷
参考答案：
一、填空题：
1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；
9、；10、；11、；12、；
二、选择题：
13、A；14、C；15、D；16、B；
三、解答题：
17、
（1）；
（2）；
18、
（1）；
（2）；
19、
（1）；
（2）；
20、解析：
（1）；
（2），设，
则，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，即；
（3），设，因为，
所以，则，若，
1°当时，即，单调递减，所以，
则，且，故满足，符合题意；
2°当时，即，则，
则，因为，故不符合题意，舍去；
综上：
。
21、解析
（1）依题意得，
因为，于是，可得，，故存在这样的，使得，所以数列是的分隔数列，得证；
（2），又因为是的前项和，所以，
假设数列是否是数列的分隔数列，则必定存在，使得，
代入不并化简得：
所以，，
又因为，所以，
对于任意的，三个方程都不能确保一直偶整数解，
故不符合定义，所以数列不是数列的分隔数列；
另解：
举出反例即可！
1°当时，，存在；
2°当时，，存在；
3°当时，，存在；
4°当时，，不存在；
综上，数列不是数列的分隔数列；
（3）因为是递增数列，所以，或；
①当时，，则，不符合数列是的分隔数列，故舍去。
②当时，，因为，代入并化简得：
，
令，则，对任意的恒成立，则，
而（恒成立），故数列是的分隔数列，且此时；
③当时，因为，代入并化简得：
，
因为单调递减，而，，此时不存在，
故这种情况，舍去；
综上，或。
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