三角函数与三角恒等变换-经典测试题-附答案.doc

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三角函数与三角恒等变换（A）

一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上）

1.半径是r，圆心角是α（弧度）的扇形的面积为________.

2.若，则tan（π＋α）＝________.

3.若α是第四象限的角，则π－α是第________象限的角.

4.适合的实数m的取值范围是_________.

5.若tanα＝3，则cos2α＋3sin2α＝__________.

6.函数的图象的一个对称轴方程是___________.（答案不唯一）

7.把函数的图象向左平移个单位，所得的图象对应的函数为偶函数，则的最小正值为___________.

8.若方程sin2x＋cosx＋k＝0有解，则常数k的取值范围是__________.

9.1－sin10°·sin30°·sin50°·sin70°＝__________.

10.角α的终边过点（4，3），角β的终边过点（－7，1），则sin（α＋β）＝__________.

11.函数的递减区间是___________.

12.已知函数f（x）是以4为周期的奇函数，且f（－1）＝1，那么__________.

13.若函数y＝sin（x＋）＋cos（x＋）是偶函数，则满足条件的为_______.

14.tan3、tan4、tan5的大小顺序是________.

二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分14分）已知，求的值.

16.（本小题满分14分）已知函数f（x）＝2sinx（sinx＋cosx）.

（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；

（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f（x）在区间上的图象.

17.（本小题满分14分）求函数y＝4sin2x＋6cosx－6（）的值域.

18.（本小题满分16分）已知函数的图象如图所示.

（1）求该函数的解析式；

（2）求该函数的单调递增区间.

19.（本小题满分16分）设函数（x∈R）.

（1）求函数f（x）的值域；

（2）若对任意x∈，都有|f（x）－m|＜2成立，求实数m的取值范围.

20.（本小题满分16分）已知奇函数f（x）的定义域为实数集，且f（x）在［0，＋∞）上是增函数.当时，是否存在这样的实数m，使对所有的均成立?

若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由.

三角函数与三角恒等变换（B）

一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上）

1.______.

2._______.

3.已知，则的值为_________.

4.已知，则________.

5.将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________.

6.已知函数是R上的偶函数，则__________.

7.函数的单调递减区间为________.

8.已知函数，且，则函数的值域是_________.

9.若，则的值是___________.

10.已知都是锐角，且，则的值是_________.

11.给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是_______.

①若，则，k∈Z；

②函数的图象关于对称；

③函数（x∈R）为偶函数；

④函数y＝sin|x|是周期函数，且周期为2π.

12.已知函数的图象如图所示，，则f（0）＝_________.

13.若，且，则______.

14.已知函数（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π.将y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的最小值是______.

二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分14分）如图是表示电流强度I与时间t的关系在一个周期内的图象.

（1）写出的解析式；

（2）指出它的图象是由I＝sint的图象经过怎样的变换而得到的.

16.（本小题满分14分）化简.

17.（本小题满分14分）已知函数y＝sinx·cosx＋sinx＋cosx，求y的最大值、最小值及取得最大值、最小值时x的值.

18.（本小题满分16分）设，曲线和有4个不同的交点.

（1）求的取值范围；

（2）证明这4个交点共圆，并求圆的半径的取值范围.

19.（本小题满分16分）函数f（x）＝1－2a－2acosx－2sin2x的最小值为g（a），a∈R.

（1）求g（a）的表达式；

（2）若g（a）＝，求a及此时f（x）的最大值.

20.（本小题满分16分）已知定义在区间上的函数y＝f（x）的图象关于直线对称，当x≥时，函数f（x）＝sinx.

（1）求的值；

（2）求y＝f（x）的函数表达式；

（3）如果关于x的方程f（x）＝a有解，那么在a取某一确定值时，将方程所求得的所有解的和记为Ma，求Ma的所有可能取值及相对应的a的取值范围.

三角函数与三角恒等变换（A）

1.2.±3.三4.5.

6.x＝【解析】对称轴方程满足2x＋＝kπ＋，所以x＝（k∈Z）.

7.8.

9.【解析】∵sin10°·sin30°·sin50°·sin70°＝

＝

∴原式＝1－

10.－11.

12.－1【解析】f（5）＝－f（－5）＝－f（－1）＝－1，∴原式＝sin＝－1.

13.＝kπ＋（k∈Z）14.tan5＜tan3＜tan4

15.2＋sinθcosθ－cos2θ＝2＋＝

16.

（1）f（x）＝2sin2x＋2sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x＝1＋（sin2xcos－cos2xsin）

＝1＋sin（2x－）.

所以函数f（x）的最小正周期为π，最大值为1＋.

（2）列表.

x

0

y

1

1

1

故函数y＝f（x）在区间上的图象是

17.y＝4sin2x＋6cosx－6

＝4（1－cos2x）＋6cosx－6＝－4cos2x＋6cosx－2

＝－4∵－≤x≤，∴－≤cosx≤1，

∴y∈.

18.

（1）由图象可知：

T＝2＝πω＝＝2.

A＝＝2，∴y＝2sin（2x＋）.

又∵为“五点画法”中的第二点，∴2×＋＝＝.

∴所求函数的解析式为y＝2sin

（2）∵当2x＋∈（k∈Z）时，f（x）单调递增，

∴2x∈x∈（k∈Z）.

19.

（1）f（x）＝4sinx·＋cos2x＝2sinx（1＋sinx）＋1－2sin2x＝2sinx＋1.

∵x∈R，∴sinx∈［－１，1］，故f（x）的值域是［－1，3］.

（2）当x∈时，sinx∈，∴f（x）∈［2，3］.

由|f（x）－m|＜2－2＜f（x）－m＜2，∴f（x）－2＜m＜f（x）＋2恒成立.

∴m＜［f（x）＋2］min＝4，且m＞［f（x）－2］max＝1.

故m的取值范围是（1，4）.

20.因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x）（x∈R），所以f（0）＝0.所以f（4m－2mcosθ）－f（2sin2θ＋2）＞0，所以f（4m－2mcosθ）＞f（2sin2θ＋2）.

又因为f（x）在［０，＋∞）上是增函数，且f（x）是奇函数，

所以f（x）是R上的增函数，所以4m－2mcosθ＞2sin2θ＋2.

所以cos2θ－mcosθ＋2m－2＞0.因为θ∈，所以cosθ∈［０，１］.

令l＝cosθ（l∈［０，1］）.满足条件的m应使不等式l2－ml＋2m－2＞0对任意l∈［0，1］均成立.设g（l）＝l2－ml＋2m－2＝－＋2m－2.

由条件得

解得，m＞4－2.

三角函数与三角恒等变换（B）

1.2.

3.【解析】原式＝

4.25.y＝2cos2x6.

7.（k∈Z）【解析】∵sin＞0，且y＝是减函数，

∴2kπ＜2x＋≤＋2kπ，（k∈Z），∴x∈（k∈Z）.

8.【解析】y＝sinx＋cosx＝2sin，又≤x＋≤

∴sin∈，∴y∈［－，2］.

9.【解析】tanθ＝，∴cos2θ＋sin2θ＝

10.【解析】由题意得cosα＝，sin（α＋β）＝.∴sinβ＝sin［（α＋β）－α］＝sin（α＋β）·cosα－cos（α＋β）·sinα＝.

11.①②④12.

13.【解析】tanα＝tan（α－β＋β）＝，∴tan（2α－β）＝tan［（α－β）＋α］＝.∵β∈（０，π）,且tanβ＝－∈（－1，0），∴β∈，∴2α－β∈∴2α－β＝－.

14.【解析】由已知，周期为π＝，∴ω＝2.则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，sin＝±cos2x，故min=.

15.

（1）I＝300sin.

（2）I＝sintI＝sinI＝sin

I＝300sin.

16.原式＝sin6°·cos48°·cos24°·cos12°

＝＝＝…=

17.令sinx＋cosx＝t.由sinx＋cosx＝sin，知t∈［－，］，∴sinx·cosx＝，t∈［－，］.所以y＝＋t＝（t＋1）2－1，t∈［－，］.当t＝－1，即2sin＝－1，x＝2kπ＋π或x＝2kπ＋π（k∈Z）时，ymin＝－1；当t＝，即sin＝，x＝2kπ＋（k∈Z）时，ymax＝.

18.

（1）解方程组故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为∵0＜θ＜，∴0＜θ＜.

（2）设四个交点的坐标为（xi，yi）（i＝1，2，3，4），则＋＝2cosθ∈（，2）（i＝1，2，3，4）.故此四个交点共圆，并且这个圆的半径r＝.

19.f（x）＝1－2a－2acosx－2sin2x＝1－2a－2acosx－2（1－cos2x）＝2cos2x－2acosx－1－2a＝2－1－2a－（a∈R）.

（1）函数f（x）的最小值为g（a）.

①当＜－1，即a＜－2时，由cosx＝－1，得g（a）＝2－1－2a－＝1；

②当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，由cosx＝，得g（a）＝－1－2a－；

③当＞1，即a＞2时，由cosx＝1，得g（a）＝2－1－2a－＝1－4a.

综上所述，

（2）∵g（a）＝，∴－2≤a≤2，∴－1－2a－＝，得a2＋4a＋3＝0，

∴a＝－1或a＝－3（舍）.将a＝－1代入f（x）＝2－1－2a－，

得f（x）＝2＋.∴当cosx＝1，即x＝2kπ（k∈Z）时，f（x）max＝5.

20.

（1）f＝f（π）＝sinπ＝0，f＝f＝sin＝.

（2）当－≤x＜时，f（x）＝f＝sin＝cosx.

∴f（x）＝

（3）作函数f（x）的图象（如图），显然，若f（x）＝a有解，则a∈［0，1］.

①当0≤a＜时，f（x）＝a有两解，且，∴x1＋x2＝，∴Ma＝；

②当a＝时，f（x）＝a有三解，且x1＋x2＋x3＝＋＝，∴Ma＝；

③当＜a＜1时，f（x）＝a有四解，且x1＋x2＋x3＋x4＝x1＋x4＋x2＋x3＝＋＝π，

∴Ma＝π；

④当a＝1时，f（