乌鲁木齐地区2015年高三年级第三次诊断性测验试卷理科数学试题参考答案及评分标准.doc
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乌鲁木齐地区2015年高三年级第三次诊断性测验试卷
理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:
共12小题，每小题5分，共60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
D
B
A
B
D
A
D
C
B
A
C
B
1．选D．【解析】∵，，∴．故选D．
2．选B．【解析】∵，由题意，得且，
∴．故选B．
3．选A．【解析】∵“直线与直线垂直”的充要条件是“也就是或”，所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件．故选A．
4．选B．【解析】当时，，，不成立，；
当时，，，成立，输出．故选B．
5．选D．【解析】依题意，此几何体的直观图如图所示．
∴，∴．
故选D．
6．选A．【解析】由，得，解得，易知是等比数列，公比为，首项为，∴，，∴．故选A．
7．选D．【解析】由题意，
∴．故选D．
8．选C．【解析】∵，∴，∴，由，得，而，∴．故选C．
9．选B．【解析】设则，，两式相减，
得，依题意，∴，
于是，因此．故选B．
10．选A．【解析】∵，∴是以为周期的函数，
又∵，易知
，∴，∴．故选A．
11．选C．【解析】不妨设棱长为，
①连结，则，∴，
即与不垂直，又，∴①错．
②连结，，在中，
而，∴是的中点，∴②对．
由②知在中，连结，易知
而在中，，∴，
即，又，∴平面，
∴③对．故选C．
12．选B．【解析】
．故选B．
二、填空题：
共4小题，每小题5分，共20分.
13．填.【解析】由题意，得可行域如图所示，
与直线平行，当其过时，
纵截距最大，为，此时最小，最小值为．
14．填.【解析】甲、乙相邻的方法有种情况，如果满足甲、丙相邻，则有种情况，所以所求的概率为．
15．填.【解析】设，由，∴，
又，∴，又，
∴，依题意，即，，
在中，即
即，∴
16．填③④．【解析】易知，，由两式相减，得，即，此数列每隔一项成等差数列，由，可得数列的奇数项为由，可得其偶数项为故．
令，，，，①错；
令，，，，②错；
∵，又，∴，
∴，故③正确；
∵设，
∵，
∴，∴单增，∴，∴，
∴，故④正确.
三、解答题：
共6小题，共70分.
17．（12分）
（Ⅰ）
∵的图像与直线相切，∴为的最大值或最小值，
即或，∵切点的横坐标依次成公差为的等差数列，
∴的最小正周期为，即，，
∴，即；…6分
（Ⅱ）由题意知，则,
∴，由得或，
因此或．
当时，的单调增区间为和，
当时，的单调增区间为．…12分
18．（12分）
以为坐标原点，建立如图所示的坐标系，不妨设
正方体棱长为，则，，，
，，，
（Ⅰ）∵,平面的法向量，
由，得，又平面，∴平面．
…6分
（Ⅱ）假设在线段上存在点，使平面，
此时，,,得,
即，得，∴在线段上存在点（即的中点）使平面．∵平面，∴平面的法向量为，设平面的法向量为，
则,,
即，令，得，
∴
所以二面角的平面角的余弦值为．…12分
19．（12分）
（Ⅰ）设夫妻两人在投保期末获得赔付的金额为，可取，，，，（单位：
万元）
（万元）
（Ⅱ）人向保险公司缴纳的保险费为（元）=（万元），保险公司为人赔付的费用为（万元），所以保险公司一年的盈利为（万元）．…12分
20．（12分）
（Ⅰ）依题意知，，，即，又，解得，，
∴椭圆的方程为…5分
（Ⅱ）设直线的方程为，，在椭圆上，
将直线的方程代入椭圆方程，整理得
则，…①，
又，，∴…②，
设过点三点的圆的方程为
于是，，
∴,…③
令，∵
∴
将①②③式代入此式，并化简，得…④，
又
将①②③式，及代入此式，并化简，得
…⑤，依题意，，由④⑤得，,∴，或；
若，则，得，
∴或，
此时直线经过点或，这与直线过椭圆在第一象限上的一点矛盾，所以，故，即点在过点三点的圆上，所以四点共圆．…12分
21．（12分）
（Ⅰ）∵，函数在处取得极值，
∴，得，即；…5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，
则，
令
令，则，
ⅰ）当时，
ⅱ）当时，，∴函数在区间为减函数，在区间为增函数．
∴，∴对，，即…①，
由①知…②，当时，由②得…③，
当时，以代换③式中，得…④，
当时，由①，④得，，
∴，∴函数为增函数，
∴当，，即当时，，且，∴，∴函数为增函数，∴当时，
∴当时，，∴当时，…12分
22．（10分）
（Ⅰ）如图，依题意知，为半圆的直径，
为半圆上一点，∴，又,
∴，又为半圆的切线，
∴，∴，
即平分;…5分
（Ⅱ）连结,∵,,∴∽,
∴,在中，于点,
∴,∴,
∴，故，即．…10分
23．（10分）
（Ⅰ）依题意，
即
设，则有，由，得
，而，
∴，∴，
，∴
∴轨迹方程为．…5分
（Ⅱ）直线的方程为
即，设点到直线距离为
其中，，
∴当或时，；当时，．…10分
24．（10分）
（Ⅰ）∵
∴，∴…5分
（Ⅱ）
，即，∴…10分
以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分．
乌鲁木齐地区2015年高三年级第三次诊断性测验理科数学参考答案及评分标准第10页（共10页）
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