2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
+=1(a>b>0)
+=1(a>b>0)
图形
性质
范围
-a≤x≤a
-b≤y≤b
-b≤x≤b
-a≤y≤a
对称性
对称轴:
坐标轴 对称中心:
原点
顶点坐标
A1(-a,0),A2(a,0)
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a)
B1(-b,0),B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b
焦距
F1F2=2c
离心率
e=∈(0,1)
a,b,c的关系
a2=b2+c2
知识拓展
点P(x0,y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0,y0)在椭圆内⇔+<1.
(2)点P(x0,y0)在椭圆上⇔+=1.
(3)点P(x0,y0)在椭圆外⇔+>1.
题组二 教材改编
2.[P37习题T4]椭圆+=1的焦距为4,则m=________.
3.[P37习题T5(3)]已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,且长轴长为12,离心率为,则椭圆的方程为________________.
题组三 易错自纠
4.若方程+=1表示椭圆,则m的取值范围是________.
5.椭圆+=1的离心率为,则k的值为________.
6.已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为4,则椭圆C的方程为________.
第1课时 椭圆及其性质
题型一 椭圆的定义及应用
1.过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A,B两点,则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为________.
2.椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则PF2=________.
3.已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则PA+PF的最大值为________,最小值为________.
思维升华 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有:
求椭圆的标准方程,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
(2)通常定义和余弦定理结合使用,求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
题型二 椭圆的标准方程
命题点1 利用定义法求椭圆的标准方程
典例
(1)已知两圆C1:
(x-4)2+y2=169,C2:
(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________.
(2)在△ABC中,A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长是18,则顶点C的轨迹方程是________________.
命题点2 利用待定系数法求椭圆方程
典例
(1)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点,(,),则椭圆方程为__________.
(2)过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________.
思维升华
(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.
(2)利用定义法求椭圆方程,要注意条件2a>F1F2;利用待定系数法要先定形(焦点位置),再定量,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式.
跟踪训练设F1,F2分别是椭圆E:
x2+=1(0
题型三 椭圆的几何性质
典例
(1)P为椭圆+=1上任意一点,EF为圆N:
(x-1)2+y2=4的任意一条直径,则·的取值范围是________.
(2)(2016·江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是________.
思维升华
(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧
①注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些范围问题时,经常用到x,y的范围,离心率的范围等不等关系.
②利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时,理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系.
(2)求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率或其范围时,一般是依据题设得出一个关于a,b,c的等式或不等式,即可得离心率或离心率的范围.
跟踪训练
(1)(2017·苏北四市一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A,B1,B2分别为椭圆C:
+=1(a>b>0)的右、下、上顶点,F是椭圆C的右焦点.若B2F⊥AB1,则椭圆C的离心率是________.
(2)已知椭圆+=1(a>b>c>0,a2=b2+c2)的左、右焦点分别为F1,F2,若以F2为圆心,b-c为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且PT的最小值不小于(a-c),则椭圆的离心率e的取值范围是__________.
16.如图,椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.
(1)若PF1=2+,PF2=2-,求椭圆的标准方程;
(2)若PQ=λPF1,且≤λ<,试确定椭圆离心率e的取值范围.
第2课时 直线与椭圆
题型一 直线与椭圆的位置关系
1.若直线y=kx+1与椭圆+=1总有公共点,则m的取值范围是________.
2.已知直线l:
y=2x+m,椭圆C:
+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:
(1)有两个不重合的公共点;
(2)有且只有一个公共点;
(3)没有公共点.
思维升华研究直线与圆锥曲线位置关系的方法
(1)研究直线和圆锥曲线的位置关系,一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数.
(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.
题型二 弦长及弦中点问题
命题点1 弦长问题
典例斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则AB的最大值为________.
命题点2 弦中点问题
典例已知椭圆E:
+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为________.
命题点3 椭圆与向量等知识的综合
典例已知椭圆C:
+=1(a>b>0),e=,其中F是椭圆的右焦点,焦距为2,直线l与椭圆C交于点A,B,线段AB的中点横坐标为,且=λ(其中λ>1).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求实数λ的值.
思维升华
(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,应用根与系数的关系,解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决,往往会更简单.
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=
=(k为直线斜率).
(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.
跟踪训练已知椭圆+=1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4),离心率e=,直线l交椭圆于M,N两点.
(1)若直线l的方程为y=x-4,求弦MN的长;
(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F,求直线l方程的一般式.
高考中求椭圆的离心率问题
考点分析离心率是椭圆的重要几何性质,是高考重点考查的一个知识点,这类问题一般有两类:
一类是根据一定的条件求椭圆的离心率;另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围,无论是哪类问题,其难点都是建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式),并且最后要把其中的b用a,c表示,转化为关于离心率e的关系式,这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.
典例1已知椭圆E:
+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:
3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若AF+BF=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是________.
典例2(16分)如图,设椭圆方程为+y2=1(a>1).
(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.
11.(2015·江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.
12.设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明EA+EB为定值,并写出点E的轨迹方程;
(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
16.过椭圆+=1(a>b>0)上的动点M作圆x2+y2=的两条切线,切点分别为P和Q,直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F,则△EOF面积的最小值是________.