正反比例总复习教案(奥数).doc

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京翰杭州校区

学案

学员姓名：

_____________授课教师：

_____高莹______所授科目：

_____数学____

学员年级：

__________上课时间：

___年__月__日____时___分至____时___分共___小时

标题

正反比例问题

学习目标

1．进一步理解正、反比例的意义，弄清它们的联系和区别，掌握它们的变化规律。

2．解答正、反比例的实际问题。

学习重点

根据正、反比例的意义，解答正、反比例的实际问题。

学习难点

分析题意，找出题中的不变的量和两种相关联的量。

上次作业检查

一、重点知识归纳及讲解

1、正、反比例的意义

（1）正比例的意义

　　两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。

这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。

　　如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用下面的式子表示：

（2）反比例的意义

　　两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。

这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系。

　　如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以用下面的式子表示：

xy=k（一定）

2、解答比例问题的一般步骤：

（1）认真审题，判断题中相关联的两种量是成正比例还是成反比例。

（2）设未知数x。

　　（3）根据判断列出正比例或反比例的关系式；属于一般比的问题可用按比例分配或列比例式。

　　（4）求出未知数x的值。

　　（5）检验，写答案。

3、比例问题的重点在于正确找出两种相关联的量，并明确二者间的比例关系。

常见的正、反比例关系列举如下：

（1）常见的正比例关系

　　当速度一定时，路程与时间成正比例关系，即

　　当工作效率一定时，工作总量与工作时间成正比例关系，即

　　当单位面积产量一定时，播种面积与总产量成正比例关系，即

（2）常见的反比例关系

　　当长方形的面积一定时，它的长和宽成反比例关系，即

长×宽=长方形的面积（一定）

　　当总时间一定时，制造零件的个数和制造每个零件所用的时间成反比例关系，即

制造每个零件所用的时间×制造零件的个数=总时间（一定）

　　两个互相咬合的齿轮，当齿轮转过的齿数一定时，齿数与转数成反比例关系，即

齿轮的齿数×转数=齿轮转过的齿数（一定）

二、难点知识剖析

例1、甲、乙两人各加工100个零件，甲比乙迟小时开工，结果同时结束。

甲、乙两人的工作效率比是5∶2。

甲每小时加工多少个零件？

解析：

　　根据“甲、乙两人各加工100个零件”可知甲、乙两人的工作总量相同，则工作时间与工作效率成反比例，由“甲、乙两人的工作效率比是5∶2”知甲、乙两人的工作时间比是2∶5，又“甲比乙迟小时开工”可以求出甲加工100个零件所需的时间，从而求出甲每小时加工零件的个数。

解答：

　　因为工作总量一定，所以工作时间与工作效率成反比例。

　　由甲、乙两人的工作效率比是5∶2，得到甲、乙两人的工作时间比是2∶5，

　　甲加工100个零件所需要的时间是（小时）

甲每小时加工零件的个数：

（个）

答：

甲每小时加工60个零件。

巩固练习：

甲、乙两名同学各扎180朵花，甲比乙晚小时开始，结果同时扎完。

甲、乙两同学的工作效率比是4∶3。

甲每小时扎多少朵花？

例2、师、徒两人加工一批零件。

由师傅单独做需要15小时，已知徒弟每小时能加工60个零件。

现在师、徒两人同时加工，完成任务时，徒弟加工的个数是师傅的。

这批零件一共有多少个？

解析：

　　师、徒两人同时开始加工到完成任务所花的时间相同。

因为工作时间一定，工作效率和工作总量成正比例，所以师、徒的工作效率比是5∶4。

根据徒弟的工作效率可以求出师傅的工作效率，由此可以求出这批零件的总个数。

解答：

　　因为工作时间一定，工作效率和工作总量成正比例。

师、徒两人的工作效率比是5∶4，师傅每小时生产零件的个数：

（个）

　　这批零件的总数：

75×15=1125（个）

答：

这批零件一共有1125个。

巩固练习：

甲、乙两人同时加工一批零件，甲每小时完成这批零件的，乙每小时做180个零件，现甲、乙两人同时开始加工，完成任务时，乙加工的个数是甲。

这批零件一共有多少个？

例3、甲、乙两人同时加工一批零件，已知甲、乙工作效率的比是4∶5，完成任务时，乙比甲多加工120个零件。

这批零件一共有多少个？

解析：

　　因为甲、乙两人加工零件的时间相同，所以工作总量与工作效率成正比例，已知甲、乙工作效率的比是4∶5，则甲、乙工作总量的比是4∶5，根据“完成任务时乙比甲多加工120个零件”可以解决最后的问题。

解答：

　　因为甲、乙两人加工零件的时间相同，所以工作总量与工作效率成正比例。

　　由甲、乙工作效率的比是4∶5，得到甲、乙工作总量的比是4∶5，

答：

这批零件一共有1080个。

巩固练习：

徒两人各加工480个零件，完成任务时所用的时间比是2∶3，已知师傅每小时比徒弟多加工20个，师傅加工这批零件用了多少小时？

例4、甲、乙两个长方体容器，底面积的比是4∶3，甲中水深5厘米，乙中水深2厘米。

再往两个容器中注入同样多的水，这时水深恰好相等，甲容器中水面上升几厘米？

解析：

　　因为向容器中注入同样多的水，所以两容器中水面上升的高度与底面积成反比例。

又知加入等量的水后，两容器中水深相等，即可知甲中水面比乙中水面少上升了（5－2）＝3厘米。

这样就可以求出甲容器中水面上升的高度。

解答：

依题意，甲、乙两容器中水面上升的高度与底面积成反比例，

　　因为甲、乙两容器底面积的比是4∶3，

　　所以甲、乙两容器中水面上升高度的比是3∶4，

答：

甲容器中水面上升9厘米。

巩固练习：

甲、乙两个圆柱容器，底面积的比是5∶4，甲中水深8厘米，乙中水深5厘米。

再往两个容器中注入同样多的水，使两个容器里水深恰好相等，乙容器中水面上升几厘米？

例5、甲、乙、丙是三个互相咬合的齿轮，若甲齿轮转5圈时，乙齿轮转4圈，丙齿轮转6圈，则三个齿轮的齿数比是多少？

解析：

　　对于每一对互相咬合的齿轮，在咬合点通过的总齿数是相等的，而总齿数=齿数×转数，于是两个互相咬合的齿轮，齿数和转数成反比例。

根据题意，由甲、乙、丙三个齿轮转数的比，求出它们齿数的比。

解答：

因为两个互相咬合的齿轮，齿数和转数成反比例。

　　甲、乙、丙三个齿轮转数的比是：

5∶4∶6，

　　所以甲、乙、丙三个齿轮齿数的比是：

答：

甲、乙、丙三个齿轮齿数的比是12∶15∶10。

巩固练习：

甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，齿数比是3∶5∶6，当甲齿轮转10圈时，乙、丙两个齿轮分别转多少圈？

三、能力提升

例1、客、货两车同时从甲、乙两地相对开出。

相遇时客、货两车所行路程的比是5∶4，相遇后货车每小时比相遇前每小时多走了27千米，客车仍按原速前进。

结果两车同时到达对方的出发站。

已知客车一共行了10小时。

甲、乙两地相距多少千米？

解析：

　　从相遇到两车同时到达对方的出发点，货车和客车所行的路程比是5∶4，因为时间相同，路程与速度成正比例，所以相遇后货车速度与客车速度比为5∶4，即相遇后货车速度是客车速度的。

根据题意，又可知相遇前货车速度是客车速度的，速度差27千米就相当于客车速度的，由此可以求出客车速度，进而求出甲、乙两地的距离。

解答：

因为时间相同，路程与速度成正比例，由相遇时客、货两车所行路程的比是5∶4，

则相遇后货车速度与客车速度比为5∶4，相遇前货车速度与客车速度比是4∶5。

答：

甲、乙两地相距600千米。

例2、猎狗发现在离它20米远的前方有一只奔跑着的兔子，马上紧追上去.兔跑9步的路程狗只需跑5步，但狗跑2步的时间兔却能跑3步，问猎狗追上兔子时共跑了多少米的路程?

解析：

　　根据“兔跑9步的路程狗只需跑5步”，路程一定，每步的距离与步数成反比例，可以得到猎狗与兔子每步的距离比；有由“狗跑2步的时间兔却能跑3步”可以得到猎狗与兔子在相同时间内跑的路程比，最后求出猎狗追上兔子时共跑的路程.

解答：

　　根据“兔跑9步的路程狗只需跑5步”得到猎狗与兔子每步的距离比是9∶5，

　　猎狗与兔子在相同时间内跑的路程比是：

（9×2）∶（5×3）=6∶5

　　故猎狗追上兔子时共跑的路程是：

20÷（6－5）×6=120（米）

答：

猎狗追上兔子时共跑的路程是120米。

小结：

　　比例问题的基本情况和解答时应该注意以下几点：

　　1、某种数量的两个数值告诉了我们，可以直接求出它们的比，然后根据数量关系，确定另一个数量两个对应数值的比。

　　2、某种数量的两个数值没有告诉我们，但知道它们的具体分率，可以根据分率求出它们的比，然后根据数量关系，确定另一个数量两个对应数值的比。

3、应用正、反比例性质解答应用题特别要注意题目中某一数值是否一定，然后再确定是成正比例还是成反比例。

四、作业布置

学员课堂表现：

学员签字___________班主任签字_____________

正、反比例练习

一、判断下面各题中的两种量是否成比例，成什么比例。

1、菜籽出油率一定，菜籽油的质量和油菜籽的质量。

（）

2、房间的面积一定，地砖的面积和地砖的块数。

（）

3、三角形的面积一定，它的低和高。

（）

4、时间一定，路程和速度。

（）

5、X－Y=10，X和Y。

（）

6、如果x－2y=0（y≠0），那么x和y。

（）

7、a=b，a和b（a，b都不为0）。

（）

8、圆的周长一定，它的直径和圆周率。

（）

二、解决问题

1、“神舟”五号载人飞船在太空飞行14圈用了21小时。

如果飞行速度不变，“神舟”六号载人飞船准备载两人，计划遨游太空108圈，一共要用多少小时？

和几日几小时？

（用比例解）

2、如果用边长30厘米的方砖给一个房间铺地，需要100块。

如果改用边长50厘米的方砖铺地，需要多少块？

（用比例解）

3、制造一个零件，甲需3分钟，乙需5分钟，丙需4分钟，现在有846个零件的任务，分配给他们三人，且在相同的时间内完成。

每人应分配多少个零件？

4、甲、乙两人各加工1560个零件，甲比乙迟小时开工，结果同时结束。

甲、乙两人的工作效率比是4∶3。

甲每小时加工多少个零件？

5、李师傅计划加工1200个零件，实际由于工作效率提高了20%，结果提前1小时完成。

李师傅计划每小时加工多少个零件？

6、师傅和徒弟共同加工一批零件，完成任务时，师傅比徒弟多加工200个零件。

已知师傅、徒弟的工作效率比是7∶5。

这批零件一共有多少个？

7、甲、乙两人共同加工一批零件，已知甲、乙两人的工作效率比是5∶2，完工时，乙比甲少做了21个。

这批零件一共有多少个？

8、A、B两个圆柱容器，底面积的比是2∶3，A中水深4厘米，B中水深6厘米。

再往两个容器中注入同样多的水，使两个容器里水深恰好相等，现在两个容器中水深多少厘米？

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