专升本地方考试密押题库与答案解析河南省专升本考试高等数学真题Word下载.docx

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B.a=0

C.a=1

D.a=2

A[解析]由，得以a·

22+4=0，得a=-1，故选A．

5.x=-1是函数的______

A.跳跃间断点

B.可去间断点

C.连续点

D.第二类间断点

B[解析]由，知x=-1为函数的可去间断点，选B．

6.当x→0时，比1-cosx高阶的无穷小是______

B．ln（1+x2）

C．sinx

D．arctanx3

D[解析]因为，，ln（1+x2）～x2，sinx～x，actanx3～x3，所以当x→0，比1-cosx高阶的无穷小是arctanx3，故选D．

7.已知f（x）=lnx，则______

B[解析]

由于f（x）=lnx，，，本题选B．

8.曲线（t为参数）在对应点处切线的方程为______

A.x=1

B.y=1

C.y=x+1

D.y=x-1

B[解析]由于，则，当时，，则切线方程为y=1，故选B．

9.函数f（x）=x（x-1）（x-2）（x-3）（x-4），则方程f'

（x）=0实根的个数为______

A.2

B.3

C.4

D.5

C[解析]易知f（x）在[0，4]上连续，在（0，4）内可导，且知f（0）=f

（1）=f

（2）=f（3）=f（4）=0，即f（x）在[0，1]，[1，2]，[2，3]，[3，4]均满足罗尔定理条件，可知存在ξ1∈[0，1]，ξ2∈[1，2]，ξ3∈[2，3]，ξ4∈[3，4]使得f'

（ξ1）=f'

（ξ2）=f'

（ξ3）=f'

（ξ4）=0，又知f（x）为5次多项式，f'

（x）为4次多项式，故最多有4个零点，综上可得，f'

（x）=0的实根个数为4个，本题选C．

10.设y=y（x）是由方程y=xy+ex确定的隐函数，则______

B[解析]对方程y=xy+ex两边对x求导，其中y为x的函数，得y'

=y+xy'

+ex，即，即，本题选B．

11.已知函数f（x）在区间[0，a]（a＞0）上连续，f（0）＞0，且在（0，a）上恒有f'

（x）＞0．设，s2=af（0），s1与s2的关系是______

A.s1＜s2

B.s1=s2

C.s1＞s2

D.不确定

C[解析]由f'

（x）＞0在（0，a）上恒成立知f（x）在（0，a）严格单调增加，由题意知，存在ξ∈（0，a），使得，由于0＜ξ＜a，则f（0）＜f（ξ）＜f（a），即af（ξ）＞af（0）=s2，即s1＞s2，本题选C．

12.曲线y=x3+1______

A.无拐点

B.有一个拐点

C.有两个拐点

D.有三个拐点

B[解析]y'

=3x2，y"

=6x，令y"

=0，得x=0，当x＜0时，y"

＜0，当x＞0时，y"

＞0，故x=0为曲线的一个拐点，本题选B．

13.曲线的渐近线的方程为______

A.x=0，y=1

B.x=1，y=0

C.x=2，y=1

D.x=2，y=0

D[解析]，故x=2为曲线的铅直渐近线，，故y=0为曲线的水平渐近线，故本题答案为D．

14.设F（x）是f（x）的一个原函数，则∫e-xf（e-x）dx=______

A.-F（ex）+C

B.-F（e-x）+C

C.F（ex）+C

D.F（e-x）+C

B[解析]∫e-xf（e-x）=-∫f（e-x）de-x=-F（e-x）+C，本题选B．

15.设f（x）在[a，b]上连续，则由曲线y=f（x）与直线x=a，x=b，y=0所围成平面图形的面积为______

D．|f（b）-f（a）|（b-a）

C[解析]由定积分的几何意义可知本题选C．

16.设f（x）是连续函数，满足，则______

A．0

B[解析]设，对题中等式两边取[-1，1]上定积分，得则．故，本题选B．

17.设，则f'

（x）=______

A.sinx+xcosx

B.（x-1）cosx

C.sinx-xcosx

D.（x-1）sinx

D[解析]由变上限积分求导公式，得f'

（x）=（x-1）sinx，本题选D．

18.下列广义积分收敛的是______

C[解析]A中，发散；

B中，发散；

C中，收敛；

D中，发散，故本题选C．

19.微分方程的通解是______

A.x2+y2=25

B.3x+4y=C

C.x2+y2=C

D.y2-x2=7

C[解析]由，得，分离变量-xdx=ydy，两边积分，得，即x2+y2=C为原微分方程的通解，故选C．

20.解常微分方程y"

-2y'

+y=xex的过程中，特解一般应设为______

A.y*=（Ax2+Bx）ex

B.y*=Axex

C.y*=Aex

D.y*=x2ex（Ax+B）

D[解析]微分方程对应的齐次微分方程的特征方程为r2-2r+1=0，即，r=1为二重特征根，由于f（x）=xex，故特解形式应设为x2ex（Ax+B），故选D．

21.已知a，b，c为非零向量，且a·

b=0，b×

c=0，则______

A.a∥b且b⊥c

B.a⊥b且b∥c

C.a∥c且b⊥c

D.a∥c且b∥c

B[解析]由a·

b=0，得a⊥b，由b×

c=0，得b∥c，本题选B．

22.直线与平面π：

6x-4y+10z-1=0的位置关系是______

A.L在π上

B.L与π平行但无公共点

C.L与π相交但不垂直

D.L与π垂直

D[解析]直线的方向向量为s={3，-2，5），平面的法向量为n={6，-4，10}，由，知s∥n，故L与π垂直，本题选D．

23.在空间直角坐标系内，方程2x2-y2=1表示的二次曲面是______

A.球面

B.双曲抛物面

C.圆锥面

D.双曲柱面

D[解析]由曲面方程不含z项，且方程为2x2-y2=1，可知表示的是双曲柱面，本题选D．

24.______

B．4

B[解析]故选B．

25.点（0，0）是函数z=xy的______

A.驻点

B.极值点

C.最大值点

D.间断点

A[解析]，故（0，0）是函数z=xy的驻点，可以验证（0，0）非函数的极值点，也不最大值点，显然（0，0）为函数连续点，本题选A．

26.设D={（x，y）||x|≤2，|y|≤1|}，则______

A.0

B.-1

C.2

D.1

A[解析]由区域D关于x轴和y轴均对称，故，故选A．

27.设f（x，y）为连续函数，交换积分次序后得到______

C[解析]画出积分区域如图所示，交换积分次序，得，故选C．

28.L为从点（0，0）经点（0，1）到点（1，1）的折线，则∫Lx2dy+ydx=______

A.1

B.2

C.0

D.-1

A[解析]积分路径如图所示，

本题选A．

29.下列级数条件收敛的是______

D[解析]D中，绝对值级数为为的p-级数，且为发散，而原级数由莱布尼茨审敛法可知其收敛，且为条件收敛；

而A与C项中级数发散，B中绝对收敛，本题选D．

30.级数的和是______

A．1

B．2

C[解析]

故级数的部分和为，

故，故选C．

二、填空题

1.设则f（x）=______．

[解析]，故．

2.设连续函数f（x）满足，则______．

[解析]方程两边取[0，2]上的定积分，并设，得，则，即．

3.已知若函数f（x）在x=1处连续，a=______．

1[解析]，，由f（x）在x=1连续，得1-a=0，即a=1．

4.设f'

（x3+1）=1+2x3，且f（0）=-1，则f（x）=______．

x2-x-1[解析]f'

（x3+1）=1+2x3=2（x3+1）-1，故f'

（x）=2x-1，所以f（x）=x2-x+C，又f（0）=-1，即C=-1，故f（x）=x2-x-1．

5.不定积分∫cos2xdx=______．

[解析]

6.若向量a={0，1，1}，b={1，0，1），c={1，1，0}，则（a×

b）·

c=______．

2[解析]，

a×

b·

c={1，1，-1}·

{1，1，0}=2．

7.微分方程y"

-4y'

+4y=0的通解y（x）=______．

C1e2x+C2xe2x．[解析]微分方程对应的特征方程为r2-4r+4=0，得r=2为二重特征根，故通解为y（x）=C1e2x+C2xe2x

8.设，则f'

x（1，0）=______．

2[解析]f（x，0）=lnx2，

9.函数f（x，y，z）=x2+y2+z2在点（1，1，1）处方向导数的最大值为______．

[解析]fx（x，y，z）|（1，1，1）=2x|（1，1，1）=2，fy（x，y，z）|（1，1，1）=2y|（1，1，1）=2y|（1，1，1）=2，fz（x1，y，z）|（1，1，1）=2z|（1，1，1）=2，故f（x，y，z）在点（1，1，1）处的梯度gradf=2i+2j+2k，故方向导数的最大值为．

10.函数的幂级数展开式是______．

[解析]由于的幂级数展开式为，故．

三、计算题

1.求极限

2.设an为曲线y=xn与y=xn+1（n=1，2，3，4，…）所围的面积，判定级数的敛散性．

由xn=xn+1，得x=0或x=1，即曲线y=xn与y=xn+1交于点（0，0）和（1,1），故，所以，

设，则，因收敛，故级数收敛．

3.求不定积分

4.计算定积分

5.解方程xy'

-y=x3．

原微分方程可变形为，

所以方程的通解为

6.已知函数z=f（x，y）由方程e-xy-2z+ez=0所确定，求dz．

令F（x，y，z）=e-xy-2z+ex，

则Fx=-ye-xy，Fy=-xe-xy，Fz=ez-2，

因此，，

故

7.已知点A（4，-1，2），B（1，2，-2），C（2，0，1），求△ABC的面积．

而

故，

8.计算二重积分，其中D={（x，y）|1≤x2+y2≤4}．

该二重积分适合选择极坐标系下进行计算：

积分区域D又可表示为{（r，θ）|0≤θ≤2π，1≤r≤2}，

9.计算曲线积∮Ly（1+x2）dx+x（1-y2）dy，其中L是圆周x2+y2=1（逆时针方向）．

∮Ly（1+x2）dx+x（1-y2）dy

（D为x2+y2=1围成的圆域内部）

10.试确定幂级数的收敛域并求出和函数．

，故收敛半径R=1，当x=-1时，级数为，为收敛级数，

当x=1时，级数为，为发散级数，

故原级数的收敛域为[-1，1）．

令

故，x[-1，1）且x≠0时，和为1，

即

四、应用题

1.欲围一个面积150平方米的矩形场地．所用材料的造价其正面是每米6元，其余三面是每米3元．问场地的长、宽各为多少时，才能使造价最低?

设所围矩形场地正面长为x米，另一边长为y米，则矩形场地面积为xy=150，，设四面围墙的高相同，都为h，则四面围墙所使用材料的费用f（x）为

今f'

（x）=0可得驻点x1=10，x2=-10（舍掉）．则有

，f"

（10）=1.8h＞0．

由于驻点唯一，由实际意义可知，该问题的最小值存在，因此当正面长为10米，侧面长15米时，所用材料费用小．

已知D是抛物线L：

y2=2x和直线所围成的平面区域．试求：

2.区域D的面积；

区域D如图所示：

区域D的面积：

3.区域D绕Ox轴旋转所形成空间旋转体的体积．

旋转体体积：

五、证明题

1.设e＜a＜b＜e2，证明．

[证明]令f（x）=ln2x，因e＜a＜b＜e2，f（x）在[a，b]上满足拉格朗日中值定理，且，

故存在ξ∈（a，b），使得

令得，在x∈[e，e2]上g'

（x）≤0．

故g（x）单调减少，g（x）在[e，e2]上最小值为

由于ξ∈（e，e2），所以

即