不等式单元易错题解析.doc

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不等式单元易错题练习

1、不等式的性质：

（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：

若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

（2）左右同正不等式：

同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：

若，则（若，则）；

（3）左右同正不等式：

两边可以同时乘方或开方：

若，则或；（4）若，则；若，则.如

（1）

（2）已知，则的取值范围是______（答：

）；

（3）已知，且则的取值范围是______（答：

）

2.不等式大小比较的常用方法：

（1）作差：

作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；

（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；

（3）分析法；

（4）平方法；

（5）分子（或分母）有理化；

（6）利用函数的单调性；

（7）寻找中间量或放缩法；

（8）图象法。

其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

如

（1）设，比较的大小

答：

当时，（时取等号）；当时，（时取等号））；

（2）设，，试比较的大小（答：

）；

（3）比较与的大小.

答：

当或时，；当时，；当时，

3.利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：

“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。

如

（1）下列命题中正确的是

A、的最小值是2B、的最小值是2

C、的最大值是

D、的最小值是（答：

C）；

（2）若，则的最小值是______（答：

）；

（3）正数满足，则的最小值为______（答：

）；

4.常用不等式有：

（1）（根据目标不等式左右的运算结构选用）；

（2），（当且仅当时，取等号）；

（3）若，则（糖水的浓度问题）。

如：

如果正数满足，则的取值范围是____（答：

）

5、证明不等式的方法：

比较法、分析法、综合法和放缩法（比较法的步骤是：

作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。

）.

常用的放缩技巧有：

如

（1）已知，求证：

；

（2）已知，求证：

；

（3）已知，且，求证：

；

（4）若是不全相等的正数，求证：

（5）若，求证：

；

（7）已知，求证：

；

（8）求证：

。

6.简单的一元高次不等式的解法：

标根法：

其步骤是：

（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；

（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；

（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。

如

（1）解不等式。

（答：

）；

（2）不等式的解集是____（答：

）；

（3）设函数的定义域都是，且的解集为，

的解集为，则不等式的解集为______

（答：

；

（4）要使满足关于的不等式（解集非空）的每一个的值至少满足不等式和中的一个，则实数的取值范围是______.（答：

）

7.分式不等式的解法：

分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

如

（1）解不等式（答：

）；

（2）关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为____________（答：

）.

8.绝对值不等式的解法：

（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：

如解不等式（答：

）；

（2）利用绝对值的定义；

（3）数形结合；如解不等式（答：

）

（4）两边平方：

如若不等式对恒成立，则实数的取值范围为______。

（答：

）

9、含参不等式的解法：

求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：

“综上，原不等式的解集是…”。

注意：

按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.

如

（1）若，则的取值范围是__________（答：

或）；

（2）解不等式（答：

时，；时，；时，

提醒：

（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；

（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。

如关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________（答：

（－1,2））

10.含绝对值不等式的性质：

同号；

异号.

如设，实数满足，求证：

11.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：

不等式恒成立问题的常规处理方式？

（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）

1）.恒成立问题

若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上

若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上

如

（1）设实数满足，当时，的取值范围是______（答：

）；

（2）不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围_____（答：

）；

（3）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围_____（答：

）；

（4）若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是_____（答：

）；

（5）若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.（答：

）

2）.能成立问题

若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；

若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.

如已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围______（答：

）

3）.恰成立问题

若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为；

若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为.

例题选讲：

例题1　对于实数中，给出下列命题：

①；

②；

③；

④；

⑤；

⑥；

⑦；

⑧，则。

其中正确的命题是______（答：

②③⑥⑦⑧）；

例题2、已知二次函数满足，，求的取值范围。

错解：

，，

又

正解：

设，则有，即

又，，

剖析：

在多次应用不等式样性质的时候，若等号不能同时成立时，会使所求范围扩大，因此在解不等式范围的题时务必要检查等号能否成立。

例题3、已知，求的最大值。

错解：

，即的最大值为。

正解1：

因此，当且仅当时，的最大值为。

正解2：

（用导数知识解），

，令，得或

又，且当时，；当时，

当时，的最大值为。

剖析：

在应用均值不等式解题时，忽视了均值不等式中等号成立的条件：

“一正、二定、三相等”中的第三个条件，因为无论在中取何值，等式都不成立。

例题4、已知且，关于的不等式的解集是，解关于的不等式的解集。

错解：

正解：

因为关于的不等式的解集是，所以，故

或

原不等式的解集是。

剖析：

其一、忽视了所给条件的应用和对数的真数大于，其二、忽视了分式不等式正确解法。

例题5、已知：

、都是正数，且，，，求的最小值。

错解：

、都是正数，

，即的最小值为4。

正解：

、都是正数，且，

当且仅当时，的最小值为。

剖析：

中等号成立的条件是当且仅当，而

中等号成立的条件是当且仅当。

这与矛盾，

因此解题中忽视了条件，从而造成错误。

例题6　解不等式.

错解一：

原不等式可化为，解得x≥2．

∴原不等式的解集是{x|x≥2}.

错解二：

在不等式f（x）·≥0中，按f（x）的取值情况分类，

有，或．

当x–1>0，即x>1时，原不等式等价于x2–x–2≥0，解得x≥2；

当x–1=0，即x=1时，显然无意义，其解集为．

综上所述，原不等式的解集为{x|x≥2}．

错因：

错解一中，当x=-1时，原不等式也成立，漏掉了x=-1这个解．原因是忽略了不等式中“≥”具有相等与不相等的双重性．事实上，

不等式f（x）·≥0与或g（x）=0同解.

错解二中分类不全，有遗漏，应补充第三种情况

即当x–l<0，且x2–x–2=0时也合乎条件，即补上x=-1．

故原不等式的解集为{x|x≥2，或x=-1}．

分析一：

符号“≥”是由符号“>”“=”合成的，故不等式f（x）·≥0可转化为f（x）·>0或f（x）·=0．

正解一：

原不等式可化为（I）（x-1）>0，或（Ⅱ）（x-1）=O．

（I）中,由得x>2；（Ⅱ）中，由x2–x–2=0，或x–1=O，

且x2–x-2有意义，得x=1，或x=2．

∴原不等式的解集为{x|≥2，或x=-1}．

分析二：

在不等式f（x）·≥0中，按g（x）的取值情况分类，有两种情况：

（1）g（x）>0时,等式等价于

（2）g（x）=0时'只须f（x）有意义即可.

正解二：

分两种情况讨论．

（1）当x2–x–2>0，即x>2，或x<-1时，原不等式等价于．

解得x>2．

（2）当x2–x–2=0，即x=2，或x=-1时，显然有意义，是原不等式的解．

综上所述．原不等式的解集是{x|x≥2，或x=-1}．

例题7　设函数，其中，解不等式．

错解：

∵不等式f（x）≤1，∴≤1+ax．两边平方，得x2+1≤（1+ax）2,

即x·[（a2-1）x+2a]≥0．∵a>0，∴当a>1时，x≥0，或x≤-；

当0

错因：

未能从已知条件中挖掘出隐含条件：

“1+ax≥1”，即“ax≥0”，

进而由a>0可得x≥0．

正解：

不等式f（x）≤1，即≤1+ax．

由此得1≤1+ax，即ax≥O，其中a>0．

∴原不等式等价于不等式组即

∴当0

当a≥1时,原不等式的解集为{x|x≥O}．

小结：

解不等式常见的思维误区有：

（1）概念模糊。

变形不同解.常见于解分式不等式、对数不等式、无理不等式、指数不等式、含绝对值不等式、含排列数或组合数的不等式等等.

（2）以偏概全，未分类或分类不全，对某些含有参数的不等式，未进行分类讨论，片面认为是某种情况.如例题6.

（3）忽视隐含条件，信息不能被全部挖掘出来.如例题7.

例题8　不等式证明的错解的成因及分析策略

不等式的证明方法有很多,如:

基本不等式法、比较法、综合法、分析法、反证法、判别　　　　　　　　　式法、换元法、数学归纳法、放缩法、导数法、公式法（向量公式、方差公式、斜率公式等）、数形结合法等等.不等式的证明过程,是常规的证明方法及构造性思维在新的领域中的移植和运用,以及局部的创新.但在实际教学活动中我们发现,学生对于不等式证明上存在着一定的思维障碍,并仍有不少学生沉醉于“题海战术”之中,阻碍着创造性思维能力的发展.

一、用新教材中新增知识点证明不等式这一思考方法很不适应

例1（2003年江苏新课程高考试题）已知,为整数.

（Ⅰ）设,证明:

;

（Ⅱ）设,对任意≥,证明:

.

分析这是一道江苏考生错误率较高的一道考题,考生对导数法证明不等式这一思考方法很不适应,以致于丢分现象极其严重,这反映学生未能真正把握新教材的思想内涵,不能做到学以致用,融会贯通,这一现象值得注意.

证明（Ⅰ）∵,

∴.

（Ⅱ）对函数求导数,得

所以.

当≥>0时,.

故当≥时,是关于的增函数,因此,当≥时,

.

即对任意≥,.

评述导数及其它向量、方差等知识点的引入,使相应的数学方法、教学工具和数学语言更加丰富,应用形式更加灵活多样,新课程卷将导数与传统的不等式有机结合在一起设问,这是一种新颖的命题模式,它体现了导数作为工具分析和解决一些性质问题的方法,在教学中应予以重视.

二、忽视向量不等式等号成立条件,造成范围失真