三角函数恒等变换含答案及高考题.doc

三角函数恒等变换含答案及高考题.doc

《三角函数恒等变换含答案及高考题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数恒等变换含答案及高考题.doc（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：

特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：

sin2x+2cos2x=（sin2x+cos2x）+cos2x=1+cos2x；配凑角：

α=（α+β）－β，β=－等。

（3）降次与升次。

（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。

asinθ+bcosθ=sin（θ+），这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。

1．已知tanx=2，求sinx，cosx的值．

解：

因为，又sin2x＋cos2x=1，

联立得

解这个方程组得

2．求的值．

解：

原式

3．若，求sinxcosx的值．

解：

法一：

因为

所以sinx－cosx=2（sinx＋cosx），

得到sinx=－3cosx，又sin2x＋cos2x=1，联立方程组，解得

所以

法二：

因为

所以sinx－cosx=2（sinx＋cosx），

所以（sinx－cosx）2=4（sinx＋cosx）2，

所以1－2sinxcosx=4＋8sinxcosx，

所以有

4．求证：

tan2x·sin2x=tan2x－sin2x．

证明：

法一：

右边＝tan2x－sin2x=tan2x－（tan2x·cos2x）=tan2x（1－cos2x）=tan2x·sin2x，问题得证．

法二：

左边=tan2x·sin2x=tan2x（1－cos2x）=tan2x－tan2x·cos2x=tan2x－sin2x，问题得证．

5．求函数在区间[0，2p]上的值域．

解：

因为0≤x≤2π，所以由正弦函数的图象，

得到

所以y∈[－1，2]．

6．求下列函数的值域．

（1）y＝sin2x－cosx+2；

（2）y＝2sinxcosx－（sinx＋cosx）．

解：

（1）y=sin2x－cosx＋2＝1－cos2x－cosx＋2=－（cos2x＋cosx）＋3，

令t=cosx，则

利用二次函数的图象得到

（2）y＝2sinxcosx－（sinx＋cosx）=（sinx＋cosx）2－1－（sinx＋cosx），令t=sinx＋cosx，，则则，利用二次函数的图象得到

7．若函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，φ＞0）的图象的一个最高点为，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于（6，0），求这个函数的一个解析式．

解：

由最高点为，得到，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是个周期，这样求得，T=16，所以

又由，得到可以取

8．已知函数f（x）=cos4x－2sinxcosx－sin4x．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若求f（x）的最大值、最小值．

数的值域．

解：

（Ⅰ）因为f（x）=cos4x－2sinxcosx－sin4x＝（cos2x－sin2x）（cos2x＋sin2x）－sin2x

所以最小正周期为π．

（Ⅱ）若，则，所以当x=0时，f（x）取最大值为当时，f（x）取最小值为

1．已知，求

（1）；

（2）的值.

解：

（1）；

（2）

.

说明：

利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

2．求函数的值域。

解：

设，则原函数可化为

，因为，所以

当时，，当时，，

所以，函数的值域为。

3．已知函数。

（1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；

（2）证明：

函数的图像关于直线对称。

解：

（1）所以的最小正周期，因为，

所以，当，即时，最大值为；

（2）证明：

欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，

因为，

，

所以成立，从而函数的图像关于直线对称。

4．已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1（x∈R）,

（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx（x∈R）的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

解：

（1）y=cos2x+sinx·cosx+1=（2cos2x－1）++（2sinx·cosx）+1

=cos2x+sin2x+=（cos2x·sin+sin2x·cos）+

=sin（2x+）+

所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即x=+kπ,（k∈Z）。

所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}

（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：

（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin（x+）的图像；

（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+）的图像；

（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin（2x+）的图像；

（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin（2x+）+的图像。

综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。

历年高考综合题

一，选择题

1.（08全国一6）是（）

A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数

C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数

2.（08全国一9）为得到函数的图象，只需将函数的图像（）

A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位

C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位

3.（08全国二1）若且是，则是（）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

4.（08全国二10）．函数的最大值为（）

A．1B．C．D．2

5.（08安徽卷8）函数图像的对称轴方程可能是（）

A． B． C． D．

6.（08福建卷7）函数y=cosx（x∈R）的图象向左平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）

A.-sinxB.sinxC.-cosxD.cosx

7.（08广东卷5）已知函数，则是（）

A、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为的奇函数

C、最小正周期为的偶函数D、最小正周期为的偶函数

8.（08海南卷11）函数的最小值和最大值分别为（）

A.－3，1 B.－2，2 C.－3， D.－2，

9.（08湖北卷7）将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线则的一个可能取值是（）

A.B.C.D.

10.（08江西卷6）函数是（）

A．以为周期的偶函数B．以为周期的奇函数

C．以为周期的偶函数D．以为周期的奇函数

11.若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（）

A．1 B． C． D．2

12.（08山东卷10）已知，则的值是（）

A． B． C． D．

13.（08陕西卷1）等于（）

A． B． C． D．

14.（08四川卷4）（）

Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.

15.（08天津卷6）把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）

A． B．

C． D．

16.（08天津卷9）设，，，则（）

A． B． C． D．

17.（08浙江卷2）函数的最小正周期是（）

A.B.C.D.

18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是（）

A.0B.1C.2D.4

二，填空题

19.（08北京卷9）若角的终边经过点，则的值为．

20.（08江苏卷1）的最小正周期为，其中，则=．

21.（08辽宁卷16）设，则函数的最小值为．

22.（08浙江卷12）若，则_________。

23.（08上海卷6）函数f（x）＝sinx+sin（+x）的最大值是

三，解答题

24.（08四川卷17）求函数的最大值与最小值。

25.（08北京卷15）已知函数（）的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．

26.（08天津卷17）已知函数（）的最小值正周期是．（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合．

27.（08安徽卷17）已知函数

（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程

（Ⅱ）求函数在区间上的值域

28.（08陕西卷17）已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；

（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．

1.D2.C3.C4.B5.B6.A7.D8.C9.A10.A

11.B12.C13.B14.D15.C16.D17.B18.C

19.20.1021.22.23.2

24.解：

由于函数在中的最大值为

最小值为

故当时取得最大值，当时取得最小值

【点评】：

此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；

【突破】：

利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；

25.解：

（Ⅰ）

．

因为函数的最小正周期为，且，

所以，解得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

因为，

所以，

所以，

因此，即的取值范围为．

26.解：

由题设，函数的最小正周期是，可得，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．

当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值是，此时的集合为

27.解：

（1）