高中涉及到的各种常见不等式的解法.docx

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高中涉及到的各种常见不等式的解法

各种不等式的解法

题型一一次不等式的解法

若关于x的不等式ax>b的解集为，则关于x的不等式ax2＋bx－a>0的解集为________．

答案　

解析　由ax>b的解集为，可知a<0，且＝.将不等式ax2＋bx－a>0两边同时除以a，得x2＋x－<0，所以x2＋x－<0，即5x2＋x－4<0，解得－10的解集为.

题型二二次不等式的解法

知识点：

一、一元二次不等式定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

二、标准形式的一元二次不等式：

三、三个二次之间的关系

判别式

Δ＝b2－4ac

Δ>0

Δ＝0

Δ<0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

（a>0）的图象

一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

（a>0）的根

有两相异

实根x1，x2

（x1

有两相等

实根x1＝x2

＝－

没有实数根

ax2＋bx＋c>0

（a>0）的解集

{x|x>x2

或x

{x|x≠x1}

R

ax2＋bx＋c<0

（a>0）的解集

{x|x1

∅

∅

四、一元二次不等式的图像解法步骤：

①将二次项系数化为“+”：

y=>0（或<0）（a>0）

②计算判别式，

③若，则求出不等式对应方程的根；

④据图象，写出解集.

五、例题讲练

类型一、求不含参数的二次不等式的解集：

1．不等式2x2－x－3>0的解集为（　　）

A.B.

C.D.

答案　B

解析　2x2－x－3>0⇒（x＋1）（2x－3）>0，解得x>或x<－1.∴不等式2x2－x－3>0的解集为，故选B.

2．不等式4x2＋4x＋1≤0的解集为（　　）

A．∅B．R

C.D.

答案　D

解析　因为4x2＋4x＋1＝（2x＋1）2，所以4x2＋4x＋1≤0的解集为.

3．不等式2x2－3|x|－35>0的解集为________．

答案　{x|x<－5或x>5}

解析　2x2－3|x|－35>0⇔2|x|2－3|x|－35>0⇔

（|x|－5）（2|x|＋7）>0⇔|x|>5或|x|<－（舍去）⇔x>5或x<－5.

4．对点训练

（1）2x2＋7x＋3>0；　

（2）－x2＋8x－3>0；

（3）x2－4x－5≤0；（4）－4x2＋18x－≥0；

（5）－x2＋3x－5>0；（6）－2x2＋3x－2<0.

（7）x2－3x＋1≤0；（8）3x2＋5x－2>0；

（9）－9x2＋6x－1<0；（10）x2－4x＋5>0；

（11）2x2＋x＋1<0.（12）

（13）.（14）.

（15）（16）

（17）（18）

（19）（20）

类型二、求含参数的二次不等式的解集：

1．若0

A.B.

C.D.

答案　D

解析　当0

2．设实数a∈（1,2），关于x的一元二次不等式x2－（a2＋3a＋2）x＋3a（a2＋2）<0的解集为（　　）

A．（3a，a2＋2）B．（a2＋2,3a）

C．（3,4）D．（3,6）

答案　B

解析　由x2－（a2＋3a＋2）x＋3a（a2＋2）<0，得（x－3a）（x－a2－2）<0，∵a∈（1,2），∴3a>a2＋2，∴关于x的一元二次不等式x2－（a2＋3a＋2）x＋3a（a2＋2）<0的解集为（a2＋2,3a）．故选B.

3．ax2－（a＋1）x＋1<0.

解　原不等式化为（ax－1）（x－1）<0.

①当a＝0时，解不等式，得x>1；

②当0

③当a>1时，解不等式，得

④当a＝1时，不等式无解；

⑤当a<0时，不等式化为（x－1）>0，

解不等式，得x<或x>1.

综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；

当0

当a>1时，不等式的解集为

当a<0时，不等式的解集为；

当a＝1时，不等式的解集为∅.

4．x2－（a2＋a）x＋a3>0.

解　原不等式化为（x－a）（x－a2）>0，

①当a2－a>0，即a>1或a<0时，

解不等式，得x>a2或x

②当a2－a<0，即0

解不等式，得xa；

③当a2－a＝0，即a＝0或a＝1时，

解不等式，得x≠a.

综上①②③得，当a>1或a<0时，不等式的解集为

{x|x>a2或x

当0a}；

当a＝0或a＝1时，不等式的解集为{x|x≠a}．

5．对点训练

（1）．已知a>1，则不等式x2－（a＋1）x＋a<0的解集为（　　）

A．（a，＋∞）B．（－∞，1）

C．（1，a）D．（－∞，1）∪（a，＋∞）

（2）．解关于x的不等式：

2x2＋ax＋2>0；

（3）．解关于x的不等式：

x2－ax－2a2<0.

（4）．解关于x的不等式：

（x－2）（ax－2）>0.

（5）．解关于x的不等式：

ax2－2≥2x－ax（a∈R）．

题型三分式不等式的解法

知识点：

等价解。

一、>0或

二、<0或

三、≥0

四、≤0

五、例题讲练

类型一、求不含参数的二次不等式的解集：

1．不等式<0的解集是（　　）

A.B．{x|3

C.D.

答案　C

解析　不等式<0等价于（x－4）>0，所以不等式的解集是.

2．解不等式：

≥－1；

解　将原不等式移项通分得≥0，

等价于

所以原不等式的解集为.

3．不等式≤0的解集为（　　）

A.B.

C.∪[1，＋∞）D.∪[1，＋∞）

4．不等式≥3的解集为_______．

5．不等式≥0的解集为_______．

6．不等式>1的解集为_______．

7．不等式≤x－1的解集是（　　）

A．（－∞，－1）∪（1,3]B．[－1,1）∪[3，＋∞）

C．[1,3）D．（－∞，1]∪（3，＋∞）

类型二、求含参数的二次不等式的解集：

1．已知关于x的不等式>0的解集是（－∞，－1）∪，则a的值为（　　）

A．－1B.

C．1D．2

答案　D

解析　由题意可得a≠0且不等式等价于a（x＋1）>0，由解集的特点可得a>0且＝，故a＝2.故选D.

2．若关于x的不等式>0的解集为（－∞，－1）∪（4，＋∞），则实数a＝____.

3．若关于x的不等式ax－b>0的解集为（1，＋∞），则关于x的不等式>0的解集为（　　）

A．（－1,2）B．（－∞，－1）∪（2，＋∞）

C．（1,2）D．（－∞，－2）∪（1，＋∞）

题型四高次不等式的解法（数轴标根法）

知识点：

数轴标根法步骤

①化标准形式：

将不等式化为（x-x1）（x-x2）…（x-xn）>0（<0）形式，并将各因式x的系数化“+”；（为了统一方便）

②找跟排根：

并在数轴上表示出来；

③穿根：

由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（注意:

奇穿偶穿而不过）；

④找解集：

若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.

例题讲练

（x-1）（x+2）（x-3）>0

x（x-3）（2-x）（x+1）>0.

（x-2）2（x-3）3（x+1）<0.

（x-3）（x+1）（x2+4x+4）0.

；

>0

题型五指数不等式的解法

知识点：

指数不等式的解法。

0ag（x）f（x）g（x）

a>1时，af（x）>ag（x）f（x）>g（x），af（x）

例题讲练

1．方程3x－1＝的解是________．

2．若2a＋1<3－2a，则实数a的取值范围是（　　）

A．（1，＋∞）B.C．（－∞，1）D.

3.　设0a2x2＋2x－3.

4．（a2－a＋2）－x－1<（a2－a＋2）2x＋5的解集为（　　）

A．（－∞，－4）B．（－4，＋∞）

C．（－∞，－2）D．（－2，＋∞）

答案　D

解析　∵a2－a＋2>1，∴－x－1<2x＋5，

∴x>－2，选D．

5．

6．

7．

题型六对数不等式的解法

知识点：

对数不等式的解法。

0logag（x）f（x）g（x）

a>1时，logaf（x）>logag（x）f（x）>g（x），logaf（x）

例题讲练

1．

2．已知log0.7（2x）

3．

4．

5．已知loga>1，求a的取值范围．

6．若loga<1（a>0且a≠1），则实数a的取值范围是（　　）

A．B．

C．∪（1，＋∞）D．∪（1，＋∞）

答案　D

解析　因为loga<1，所以loga1，则上式显然成立；若0a>0.所以a的取值范围是∪（1，＋∞）．故选D．

7．已知loga<1，那么a的取值范围是（　　）

A.∪（1，＋∞）B.C.D．（1，＋∞）

8．

9.已知loga（2a＋1）

10．当，求不等式：

（a

题型七幂函数有关的不等式

1．若f（x）＝x－x，则满足f（x）<0的x的取值范围是________．

2．设函数f（x）＝已知f（a）>1，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－2,1）B．（－∞，－2）∪（1，＋∞）

C．（1，＋∞）D．（－∞，－1）∪（0，＋∞）

题型八正、余弦不等式的解法

知识点：

三角不等式的解法。

利用三角函数的图像或三角函数线解三角不等式。

例题讲练

1．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角的取值范围：

（1）.sinα≤

（2）.cosα＞

（3）.sinθ≥；（4）.

（5）.－≤cosθ<.（6）.y＝

（7）.y=（8）.y=lg（2sinx+1）+

2．函数y＝＋的定义域是（　　）

A．（2kπ，（2k＋1）π），k∈ZB.，k∈Z

C.，k∈ZD．[2kπ，（2k＋1）π]，k∈Z

3．若sinθ≥0，则θ的取值范围是________．

4．在[－π，π]上，满足sinx≤的x的取值范围是________．

5．若0≤sinθ<，则θ的取值范围是________．

6．求下列函数的定义域：

（1）y＝；

（2）y＝lg（3－4sin2x）．（3）y＝

题型九正切不等式的解法

知识点：

利用三角函数的图像

1．利用正切函数的图像，分别确定角的取值范围：

tanα≥-1tanx＞0

2．若tan≤1，则x的取值范围是__________．

3．设0≤α<2π，若sinα>cosα，则