三角形解的个数问题专题.doc

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解三角形专题2

三角形解的个数问题

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系

A

A=bsinA

bsinA

a≥b

a≤b

解的个数

无解

一解

两解

一解

无解

1已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？

（1）

（2）

（3）

（4）

答案:

（1）而，故无解

（2），故有无解

（3），故有一组解

（4），故有两组解

2在△ABC中，A=45°，AB=，则“BC=”是“△ABC只有一解且C=60°”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既为充分也不必要条件

另解法

法1：

大角对大边

在已知中的边长，和角，且已知，的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”

来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角与角的大小关系，然后求

出的值，根据三角函数的有界性求解．

【例1】在中，已知，，，求、及．

解：

由正弦定理，得，∵，，∴或．

当时，，；

当时，，．

点评：

在三角形中，这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘．

法2：

二次方程的正根个数

一般地，在中的边长，和角，常常可对角应用余弦定理，并将其整理为关于的一元

二次方程，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数

A

B

C

D

解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解．

【例2】如图，在四边形中，已知，，，

，，求的长．

解：

在中，设，由余弦定理得，

整理得，解得．

由正弦定理，得．

点评：

已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，

利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．

法3：

画圆法

已知中，为已知角（），先画出，确定顶点，再在的一边上确定顶点，使

边长为已知长度，最后以顶点为圆心，以边长为半径画圆，看该圆与的另一边是否有交点，如果

没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个

交点，则说明该三角形的解的个数为2．

A

b

C

a

D

【例3】在中，，，，则解的情况（　　）

（A）无解　　　　（B）有一解　　　　（C）有两解　　　　（D）不能确定

解：

在的一边上确定顶点，使，作，

以顶点为圆心，以为半径画圆，看该圆与没有交点，

则说明该三角形的解的个数为0，故选A．

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