上海市高一(上)期中数学试卷(解析版).doc

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2015-2016学年上海市格致中学高一（上）期中数学试卷

一、填空题

1．已知全集U=R，，则A∩∁UB=　　　　　　．

2．若函数，则f（x）•g（x）=　　　　　　．

3．函数y=的定义域是　　　　　　．

4．不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），则不等式bx﹣a≥0的解集为　　　　　　．

5．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间（，1）上为增函数，那么f

（2）的取值范围是　　　　　　．

6．已知集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是　　　　　　．

7．“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是　　　　　　．

8．设f（x）是R上的偶函数，f

（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，则（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是　　　　　　．

9．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是　　　　　　．

10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f

（2）=1，若f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　．

11．已知的解集为[m，n]，则m+n的值为　　　　　　．

二、选择题

12．给出下列命题：

（1）∅={0}；

（2）方程组的解集是{1，﹣2}；

（3）若A∪B=B∪C，则A=C；

（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，则A⊆∁UB．

其中正确命题的个数有（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

13．“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”的（　　）

A．充要条件 B．必要非充分条件

C．充分非必要条件 D．非充分非必要条件

14．已知a∈R，不等式的解集为P，且﹣4∉P，则a的取值范围是（　　）

A．a≥﹣4 B．﹣3＜a≤4 C．a≥4或a≤﹣3 D．a≥4或a＜﹣3

15．函数f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（　　）

A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]

三、解答题（8+8+10+14分）

16．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．

（Ⅰ）若a=3，求P；

（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．

17．设α：

A={x|﹣1＜x＜1}，β：

B={x|b﹣a＜x＜b+a}．

（1）设a=2，若α是β的充分不必要条件，求实数b的取值范围；

（2）在什么条件下，可使α是β的必要不充分条件．

18．设函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）

（1）设a＞c＞0，若f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范围；

（2）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点，有几个零点？

为什么？

19．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：

在定义域（0，+∞）内存在x0，使函数f（x0+1）≤f（x0）f

（1）成立；

（1）请给出一个x0的值，使函数；

（2）函数f（x）=x2﹣x﹣2是否是集合M中的元素？

若是，请求出所有x0组成的集合；若不是，请说明理由；

（3）设函数，求实数a的取值范围．

2015-2016学年上海市格致中学高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题

1．已知全集U=R，，则A∩∁UB=　{0}　．

【考点】交、并、补集的混合运算．

【专题】计算题；集合．

【分析】先确定集合A={0，3}，再确定CUB={x|x≤}，最后根据交集定义运算得出结果．

【解答】解：

因为A={x|x2﹣3x=0}={0，3}，

而B={x|x＞}，且U=R，

所以，CUB={x|x≤}，

所以，{x|x≤}∩{0，3}={0}，

即A∩CUB={0}，

故答案为：

{0}．

【点评】本题主要考查了集合间交集，补集的混合运算，涉及一元二次方程的解法，交集和补集的定义，属于基础题．

2．若函数，则f（x）•g（x）=　x（x＞0）　．

【考点】函数解析式的求解及常用方法．

【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．

【分析】直接利用函数的解析式化简求解即可．

【解答】解：

函数，则f（x）•g（x）==x，x＞0．

故答案为：

x（x＞0）．

【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力．

3．函数y=的定义域是　{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}　．

【考点】函数的定义域及其求法．

【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．

【分析】利用分母不为0，开偶次方被开方数方法，列出不等式组求解可得函数的定义域．

【解答】解：

要使函数有意义，可得：

，解得：

﹣1≤x＜1或1＜x≤4．

函数的定义域为：

{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．

故答案为：

{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．

【点评】本题考查函数的定义域的求法，是基础题．

4．不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），则不等式bx﹣a≥0的解集为　（﹣∞，]　．

【考点】其他不等式的解法．

【专题】方程思想；综合法；不等式的解法及应用．

【分析】由题意可得a＜0，且﹣2a+b=0，解得b=2a，代入要解的不等式可得．

【解答】解：

∵不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），

∴a＜0，且﹣2a+b=0，解得b=2a，

∴不等式bx﹣a≥0可化为2ax﹣a≥0，

两边同除以a（a＜0）可得2x﹣1≤0，

解得x≤

故答案为：

（﹣∞，]．

【点评】本题考查不等式的解集，得出a的正负是解决问题的关键，属基础题．

5．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间（，1）上为增函数，那么f

（2）的取值范围是　[﹣7，+∞）　．

【考点】二次函数的性质．

【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

【分析】求得二次函数的对称轴，由题意可得≤，求得a的范围，再由不等式的性质，可得f

（2）的范围．

【解答】解：

函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5的对称轴为x=，

由题意可得≤，

解得a≤2，

则f

（2）=4﹣2（a﹣1）+5

=11﹣2a≥﹣7．

故答案为：

[﹣7，+∞）．

【点评】本题考查二次函数的单调性的运用，考查不等式的性质，属于中档题．

6．已知集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是　[3，+∞）　．

【考点】交集及其运算．

【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．

【分析】先求出集合B，再利用交集定义和不等式性质求解．

【解答】解：

∵集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}={x|m﹣1≤x≤m+1}，

A∩B=B，

∴m﹣1≥2，解得m≥3，

∴实数m的取值范围是[3，+∞）．

故答案为：

[3，+∞）．

【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．

7．“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是　“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”　．

【考点】四种命题．

【专题】演绎法；简易逻辑．

【分析】根据否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案．

【解答】解：

“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”，

故答案为：

“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”

【点评】本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握四种命题的概念，是解答的关键．

8．设f（x）是R上的偶函数，f

（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，则（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是　（0，1）∪（2，+∞）　．

【考点】奇偶性与单调性的综合．

【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系先求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集，进行求解即可．

【解答】解：

∵f（x）是R上的偶函数，f

（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，

∴f（﹣1）=f

（1）=0，

则函数f（x）对应的图象如图：

即当x＞1或x＜﹣1时，f（x）＞0，

当0＜x＜1或﹣1＜x＜0时，f（x）＜0，

则不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0等价为或，

即或，

即或，

即x＞2或0＜x＜1，

即不等式的解集为（0，1）∪（2，+∞），

故答案为：

（0，1）∪（2，+∞）

【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集是解决本题的关键．

9．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是　（﹣，0）　．

【考点】二次函数的性质．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．

【解答】解：

∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，

对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，

即，解得﹣＜m＜0，

故答案为：

（﹣，0）．

【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．

10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f

（2）=1，若f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是　[﹣1，1]　．

【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．

【专题】计算题．

【分析】先利用f（x）是R上的偶函数，且f

（2）=1，得到f

（2）=f（﹣2）=1；再由f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，导出﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈[﹣1，1]上恒成立，由此能求出实数a的取值范围．

【解答】解：

∵f（x）是R上的偶函数，且f

（2）=1，

∴f

（2）=f（﹣2）=1；

∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，

∴﹣2≤x+a≤2，

即﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈[﹣1，1]上恒成立，

∴﹣1≤a≤1，

故答案为：

[﹣1，1]．

【点评】本题考查函数恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的奇偶性、单调性的灵活运用．

11．已知的解集为[m，n]，则m+n的值为　3　．

【考点】根与系数的关系．

【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用．

【分析】利用二次函数的单调性、一元二次不等式的解法即可得出．

【解答】解：

解：

∵x2﹣2x+3=（2x2﹣6x+9）=[（x﹣3）2+x2]≥，

令n2﹣2n+3=n，得2n2﹣9n+9=0，

解得n=（舍去），n=3；

令x2﹣2x+3=3，解得x=0或3．

取m=0．

∴m+n=3．

故答案为：

3．

【点评】本题考查了二次函数的单调性、一元二次不等式的解法，属于基础题．

二、选择题

12．给出下列命题：

（1）∅={0}；

（2）方程组的解集是{1，﹣2}；

（3）若A∪B=B∪C，则A=C；

（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，则A⊆∁UB．

其中正确命题的个数有（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】命题的真假判断与应用．

【专题】计算题；集合思想；数形结合法；集合．

【分析】由集合间的关系判断

（1）；写出方程组的解集判断

（2）；由A∪B=B∪C，可得A=C或A、C均为B的子集判断（3）；画图说明（4）正确．

【解答】解：

（1）∅⊆{0}．故

（1）错误；

（2）方程组的解集是{（1，﹣2）}．故

（2）错误；

（3）若A∪B=B∪C，则A=C或A、C均为B的子集．故（3）错误；

（4）若U