图论Word文档格式.docx
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通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。
从图的带权邻接矩阵A=[a（i,j）]n×
n开始，递归地进行n次更新，即由矩阵D（0）=A，按一个公式，构造出矩阵D
（1）；
又用同样地公式由D
（1）构造出D
（2）；
……；
最后又用同样的公式由D（n-1）构造出矩阵D（n）。
矩阵D（n）的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D（n）为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。
采用的是松弛技术，对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。
所以时间复杂度为O（n^3）;
其状态转移方程如下：
map[i,j]:
=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]}
map[i,j]表示i到j的最短距离
K是穷举i,j的断点
map[n,n]初值应该为0，或者按照题目意思来做。
当然，如果这条路没有通的话，还必须特殊处理,比如没有map[i,k]这条路
2.3、优缺点分析
Floyd算法适用于APSP（AllPairsShortestPaths），是一种动态规划算法，稠密图效果最佳，边权可正可负。
此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。
优点：
容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单；
缺点：
时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。
三、算法过程
把图用邻接矩阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G[i,j]=d，d表示该路的长度；
否则G[i,j]=空值。
定义一个矩阵D用来记录所插入点的信息，D[i,j]表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化D[i,j]=j。
把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G[i,j]=min（G[i,j],G[i,k]+G[k,j]），如果G[i,j]的值变小，则D[i,j]=k。
在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。
比如，要寻找从V5到V1的路径。
根据D，假如D（5,1）=3则说明从V5到V1经过V3，路径为{V5,V3,V1}，如果D（5,3）=3，说明V5与V3直接相连，如果D（3,1）=1，说明V3与V1直接相连。
四、算法实现
4.1、c语言程序：
#include<
stdio.h>
conio.h>
stdlib.h>
#defineN100//可计算的最大的路由结点数为100
doublew[N][N],tempw[N][N];
//w最短径长tempw临时
intr[N][N],tempr[N][N],i,j,k,m=7;
//r转接路由
voidTestAlgorithm（）;
//测试算法是否正确
doubleminnb（doublek1,doublek2）;
//求最小值
voidInputTheNet（）;
//输入路由节点及花费
voidInitprint（）;
//打印R0W0
voidsavesw（）;
//保存临时值
voidresultw（）;
//求W矩阵的值
voidresultr（）;
//求R矩阵的值
//---主函------
voidmain（）
{
TestAlgorithm（）;
//使用固定的路由花费测试算法是否正确
InputTheNet（）;
Initprint（）;
//打印初始路由表（R0W0）
savesw（）;
//*保存WR矩阵的值
for（k=0;
k<
m;
k++）
resultw（）;
//求W矩阵
resultr（）;
//求R矩阵
//保存RW矩阵的值
}
printf（"
\n"
）;
}
voidInputTheNet（）
\n\n请输入节点数：
"
scanf（"
%d"
&
m）;
\n\n请输入各结点间的路由花费\n\n"
for（i=0;
i<
i++）
w[i][i]=0;
for（j=i+1;
j<
j++）
{
第%d节点-->
第%d节点:
i+1,j+1）;
%lf"
w[i][j]）;
}
for（i=0;
i++）//转换成路由花费表
for（j=0;
i;
w[i][j]=w[j][i];
}
//*********打印你输入的路由表*********************
voidInitprint（）{
\nW0矩阵\n"
{for（j=0;
if（w[i][j]==-1）
$"
else
%9.1f"
w[i][j]）;
\n***********************************************\n"
if（w[i][j]>
0）
r[i][j]=j+1;
r[i][j]=0;
printf（"
\nR0矩阵\n"
{for（j=0;
%9d"
r[i][j]）;
//*********************************************//*******************************************
//求W矩阵
voidresultw（）
{printf（"
\nW%d矩阵的值\n"
k+1）;
w[i][j]=minnb（tempw[i][j],tempw[i][k]+tempw[k][j]）;
else
}printf（"
----------------------------------------------------------------"
voidresultr（）{
\nr%d矩阵的值\n"
i++）{
{if（w[i][j]==tempw[i][j]）
r[i][j]=tempr[i][j];
if（tempw[i][j]==-1）
r[i][j]=k+1;
if（（w[i][j]!
=-1）&
&
（w[i][j]<
tempw[i][j]））
elser[i][j]=0;
}printf（"
//****保存RW矩阵的
voidsavesw（）{
j++）{
tempw[i][j]=w[i][j];
tempr[i][j]=r[i][j];
doubleminnb（doublek1,doublek2）{
doubleret;
//tempw[i][j],tempw[i][k]+tempw[k][j]
if（tempw[i][j]==-1）{
if（tempw[i][k]==-1||tempw[k][j]==-1）
ret=-1;
elseret=k2;
else
if（tempw[i][k]==-1||tempw[k][j]==-1）
ret=k1;
if（k1>
k2）
ret=k2;
elseret=k1;
returnret;
//*******测试算法*******
voidTestAlgorithm（）{//-1为$代表无穷
doublew1[7][7]={
{0,-1,-1,1.2,9.2,-1,0.5},
{-1,0,-1,5,-1,3.1,2},
{-1,-1,0,-1,-1,4,1.5},
{1.2,5,-1,0,6.7,-1,-1},
{9.2,-1,-1,6.7,0,15.6,-1},
{-1,3.1,4,-1,15.6,0,-1},
{0.5,2,1.5,-1,-1,-1,0},
};
charch;
是否进行算法测试?
Y/N"
do{
fflush（stdin）;
//清除文件缓冲区，文件以写方式打开时将缓冲区内容写入文件
ch=getchar（）;
}while（ch!
='
y'
ch!
Y'
n'
N'
if（ch=='
||ch=='
）
\n已跳过测试程序!
return;
7;
{w[i][j]=w1[i][j];
//要测试的复制给w1
//打印路由表（R0W0）
\n以上是要测试的固定的路由花费表\n\n"
按任意键进行测试\n"
getch（）;
k++）{
\n\n测试完毕，以上是测试结果!
\n\n"
system（"
pause"
4.2、Matlab程序及其分析
第一步：
function[D,R]=floyd（A）
%用floyd算法实现求任意两点之间的最短路程。
%参数D为连通图的权矩阵
A=[03infinfinfinfinf
302infinf1.5inf
inf206inf2.54
infinf60infinf3
infinfinfinf01.5inf
inf1.52.5inf1.501.8
infinf43inf1.80
];
D=A;
n=length（D）;
fori=1:
n
forj=1:
n
R（i,j）=i;
%赋路径初值
end
end
fork=1:
fori=1:
ifD（i,k）+D（k,j）<
D（i,j）
D（i,j）=D（i,k）+D（k,j）;
%更新D（i,j），说明通过k的路程更短
R（i,j）=R（k,j）;
%更新R（i,j），需要通过k
第二步：
对于第一问
在矩阵D中每一行取大得到一列数，再在这列数中取小，
[m,n]=size（D）;
p=[];
m
p（i）=max（D（i,:
））;
end
ifp（i）==min（p）
disp（i）;
min（p）
运行结果：
[D,R]=floyd（）
6
ans=
4.8000
D=
03.00005.00009.30006.00004.50006.3000
3.000002.00006.30003.00001.50003.3000
5.00002.000006.00004.00002.50004.0000
9.30006.30006.000006.30004.80003.0000
6.00003.00004.00006.300001.50003.3000
4.50001.50002.50004.80001.500001.8000
6.30003.30004.00003.00003.30001.80000
R=
1127626
2227626
2333633
2644674
2667556
2667666
2677677
结论：
在顶点6建立银行，最大服务距离最小，最小是4.8.
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