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1、通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。从图的带权邻接矩阵A=a（i,j） nn开始，递归地进行n次更新，即由矩阵D（0）=A，按一个公式，构造出矩阵D（1）；又用同样地公式由D（1）构造出D（2）；最后又用同样的公式由D（n-1）构造出矩阵D（n）。矩阵D（n）的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D（n）为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。采用的是松弛技术，对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。所以时间复杂度为O（n3）;其状态转移方程如下： mapi,j:=minmapi,k+mapk,j,mapi,j mapi,j表

2、示i到j的最短距离 K是穷举i,j的断点 mapn,n初值应该为0，或者按照题目意思来做。当然，如果这条路没有通的话，还必须特殊处理,比如没有mapi,k这条路 2.3、优缺点分析Floyd算法适用于APSP（All Pairs Shortest Paths），是一种动态规划算法，稠密图效果最佳，边权可正可负。此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单；缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。三、算法过程把图用邻接矩阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则Gi,j=d，d表

3、示该路的长度；否则Gi,j=空值。定义一个矩阵D用来记录所插入点的信息，Di,j表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化Di,j=j。把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，Gi,j = min（ Gi,j, Gi,k+Gk,j ），如果Gi,j的值变小，则Di,j=k。在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。比如，要寻找从V5到V1的路径。根据D，假如D（5,1）=3则说明从V5到V1经过V3，路径为V5,V3,V1，如果D（5,3）=3，说明V5与V3直接相连，如果D（3,1）=1，说明V3与V1直接相连。四、算法实现4.1、c语言程序：#include

4、conio.hstdlib.h#define N 100 /可计算的最大的路由结点数为100double wNN,tempwNN; /w最短径长 tempw临时int rNN,temprNN,i,j,k,m=7; /r转接路由void TestAlgorithm（）;/测试算法是否正确 double minnb（double k1,double k2）;/求最小值void InputTheNet（）;/输入路由节点及花费 void Initprint（）;/打印R0 W0 void savesw（）; /保存临时值void resultw（）;/求W矩阵的值void resultr（）;/求R

5、矩阵的值/-主函- void main（） TestAlgorithm（）;/使用固定的路由花费测试算法是否正确 InputTheNet（）; Initprint（）;/打印初始路由表（R0 W0） savesw（）;/*保存W R 矩阵的值 for（k=0;km;k+） resultw（）;/求W矩阵 resultr（）;/求R矩阵 /保存 R W矩阵的值 printf（n）; void InputTheNet（） nn请输入节点数： scanf（%d,&m）; nn请输入各结点间的路由花费nn for（i=0;ii+） wii=0; for（j=i+1;j第%d节点:,i+1,j+1）;%

6、lfwij）;for（i=0;i+）/转换成路由花费表 for（j=0;i; wij=wji; /*打印你输入的路由表* void Initprint（） nW0矩阵n for（j=0; if（wij=-1） $ else %9.1f,wij）;n*n if（wij0） rij=j+1; rij=0;printf（nR0矩阵n for（j=0;%9d,rij）;/* /* / 求W矩阵void resultw（） printf（n W%d矩阵的值n,k+1）;wij=minnb（tempwij,tempwik+tempwkj）;else printf（-void resultr（） n r%d

7、矩阵的值ni+） if（wij=tempwij） rij=temprij; if（tempwij=-1） rij=k+1; if（wij!=-1）&（wijk2） ret=k2;else ret=k1; return ret; /*测试算法*void TestAlgorithm（） /-1为$ 代表无穷double w177= 0, -1, -1,1.2, 9.2, -1, 0.5, -1, 0, -1, 5, -1,3.1, 2 , -1, -1, 0, -1, -1, 4, 1.5, 1.2, 5, -1, 0, 6.7, -1, -1, 9.2, -1, -1,6.7, 0,15.6,

8、-1, -1,3.1, 4,-1,15.6, 0, -1, 0.5, 2,1.5, -1, -1, -1, 0, ;char ch;是否进行算法测试?Y/N do fflush（stdin）; / 清除文件缓冲区，文件以写方式打开时将缓冲区内容写入文件 ch=getchar（）; while（ch!=ych!YnN if（ch=|ch=） n 已跳过测试程序 ! return ;7; wij=w1ij; /要测试的复制给w1/打印路由表（R0 W0） n以上是要测试的固定的路由花费表nn按任意键进行测试n getch（）;k+） nn测试完毕，以上是测试结果!nnsystem（pause4.2

9、、Matlab程序及其分析 第一步：function D,R=floyd（A）%用floyd算法实现求任意两点之间的最短路程。%参数D为连通图的权矩阵 A=0 3 inf inf inf inf inf 3 0 2 inf inf 1.5 inf inf 2 0 6 inf 2.5 4 inf inf 6 0 inf inf 3 inf inf inf inf 0 1.5 inf inf 1.5 2.5 inf 1.5 0 1.8 inf inf 4 3 inf 1.8 0 ;D=A;n=length（D）;for i=1:n for j=1:n R（i,j）=i;%赋路径初值 endendf

10、or k=1: for i=1: if D（i,k）+D（k,j）D（i,j） D（i,j）=D（i,k）+D（k,j）;%更新 D（i,j），说明通过k的路程更短 R（i,j）=R（k,j）;%更新R（i,j），需要通过k 第二步：对于第一问在矩阵D中每一行取大得到一列数，再在这列数中取小，m,n=size（D）;p=;m p（i）=max（D（i,:）;end if p（i）=min（p） disp（i）;min（p）运行结果：D,R=floyd（） 6ans = 4.8000D = 0 3.0000 5.0000 9.3000 6.0000 4.5000 6.3000 3.0000 0

11、2.0000 6.3000 3.0000 1.5000 3.3000 5.0000 2.0000 0 6.0000 4.0000 2.5000 4.0000 9.3000 6.3000 6.0000 0 6.3000 4.8000 3.0000 6.0000 3.0000 4.0000 6.3000 0 1.5000 3.3000 4.5000 1.5000 2.5000 4.8000 1.5000 0 1.8000 6.3000 3.3000 4.0000 3.0000 3.3000 1.8000 0R = 1 1 2 7 6 2 6 2 2 2 7 6 2 6 2 3 3 3 6 3 3 2 6 4 4 6 7 4 2 6 6 7 5 5 6 2 6 6 7 6 6 6 2 6 7 7 6 7 7结论：在顶点6建立银行，最大服务距离最小，最小是4.8.