离散数学课后复习文档格式.docx
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「qVp（吸收律）
（「pVp）A「qVpA（「qVq）
「pA「qVpA「qVpA「qVpAq
m0Vm2Vm2Vm3
m0Vm2Vm3
成真赋值为00,10,11.
（4）（「p-q）AqAr
（pVq）AqAr
（pAqAr）VqAr
（pAqAr）V（「pVp）AqAr
pAqArV「pAqArVpAqAr
m3Vm7
成真赋值为011,111.
⑶（pV（qAr））—（pVqVr）
「（pV（qAr））V（pVqVr）
「pA「（qAr）V（pVqVr）
「pA（「qV「r）V（pVqVr）
「pA「qV「pA「rVpVqVr
「pA「qA（rV「r）V「pA（qV「q）A「rVpA（qV「q）A（rV「r）V（pV「p）AqA（rV「r）V（pV「p）A（qV「q）Ar
moVm1Vm2Vm3Vm4Vm5Vm6Vm7,为重言式.
「（［pVq）AqAr
（pA「q）AqAr
pA（「qAq）Ar
主析取范式为0,无成真赋值,为矛盾式.
第4次作业（P38）
2.6求下列公式的主合取范式，并求成假赋值:
（1）「（q一［p）八「p
（2）（pAq）V（「pVr）
（3）（p-（pVq））Vr
（1）「（q—［p）A「p
「（［qV「p）A「p
qApA「p
qA0
M0AM1AM2AM3
这是矛盾式.成假赋值为00,01,10,11.
（pAq）V「pVr
（pV「p）A（「pVq）Vr
（「pVq）Vr
「pVqVr
M4,成假赋值为100.
（「pV（pVq））Vr
（「pVp）VqVr
主合取范式为1,为重言式.
第5次作业（P41）
（1）用消解原理证明下述公式是矛盾式：
7.（「pVq）A（「pVr）A（「qV「r）A（pV「r）Ar
⑵「（（pVq）A「p-q）
8.（「pVq）A（「pVr）A（「qV「r）A（pV「r）Ar
第一次循环S0=①，Si={「pVq,「pVr,「qV「r,pV「r,r},S2=中
由「pVr,pV「r消解得到入
输出“no”，计算结束
V（（pVq）A「p）Vq）
（（pVq）A「p）A「q
（pVq）A「pA「q
第一次循环So=①，Si={pVq,「p,「q},S2=中
由pVq,「p消解得到q,
由q,「q消解得到入，
（1）用消解法判断下述公式是否可满足的：
pA（「pV「q）Aq
（pVq）A（pV「q）A（「pVr）
第一次循环So=①，S1={p,「pV「q,q},S2=中
由p,「pV」q消解得到「q,
第一次循环So=①，S1={pVq,pV「q,「pVr},S2=中
由pVq,pV「q消解得到p,
由pVq,「pVr消解得到qVr,
由pV「q,「pVr消解得到「qVr,
由p,「pVr消解得到r,
S2={p,qVr,「qVr,r}
第二次循环So={pVq,pV「q,「pVr},S1={p,qVr,「qVr,r},S2=中
由pVq,「qVr消解得到pVr,
由pV「q,qVr消解得到pVr,
由「pVr,p消解得到r,
S2={pVr}
第三次循环So={p,qVr,「qVr,r},S1={pVr},S2=①
S2=中
输出“yes”，计算结束
第6次作业（P52）
3.6判断下面推理是否正确.先将简单命题符号化，再写出前提，结论，推理的
形式结构（以蕴涵式的形式给
出）和判断过程（至少给出两种判断方法）:
则明天是星期二或星期三.今天是星期一.所以明天是星期二.
（6）今天是星期一当且仅当明天是星期三；
今天不是星期一.所以明天不是星期三
设p:
今天是星期一，q:
明天是星期二,r:
明天是星期三.
（1）推理的形式结构为
（p—r）Ap—r
此形式结构为重言式，即
（p-r）Apr
所以推理正确.
（2）推理的形式结构为
（p一q）Aq-p
此形式结构不是重言式，故推理不正确.
（3）推理形式结构为
（p—r）A「r—「p
（p—r）A「r「p
标推理正确.
（4）推理形式结构为
（p一q）A「p-「q
（5）推理形式结构为
（p一（qVr））Ap-q
它不是重言式，故推理不正确.
（6）推理形式结构为
（p?
r）A「p-「r
r）A「p「r
讼推理正确.
推理是否正确，可用多种方法证明.证明的方法有真值表法，等值演算法.证明
推理正确还可用构造证明法.
下面用等值演算法和构造证明法证明（6）推理正确.
7..等值演算法
（p-r）A（r—p）A「p—「r
「（（「pVr）A（「rVp）A「p）V「r
「（[pVr）V「（[rVp）VpV「r
（pA「r）V（rA「p）VpV「r
（rA「p）VpV「r吸收律
（rA「p）V「（[pVr）德摩根律
即（p?
故推理正确
8..构造证明法
前提:
r）,「p
结论：
「r
证明：
①p?
②（p-r）A（r-p）
③r-p
④「p
⑤「r
前提引入
①置换
②化简律
③④拒取式
第7次作业（P53-54）
所以，推理正确.
3.15在自然推理系统
P中用附加前提法证明下面各推理：
⑴前提：
p一（q—r）,s-p,q结论：
s-r
（2）前提：
（pVq）一（rAs）,（sVt）-u结论：
p-u
⑴证明：
①s
②s^p
③p
④p一（q—r）
⑤qfr
⑥q
⑦r
附加前提引入前提引入①②假言推理前提引入
③④假言推理前提引入
⑤⑥假言推理
附加前提引入
①附加前提引入
②③假言推理
④化简
⑤附加前提引入⑥⑦假言推理
（2）证明：
①P
②pVq
③（pVq）一（rAs）
④rAs
⑤S
⑥sVt
⑦（sVt）一u
⑧u3.16在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理
p一「q,「rVq,rA「s
「p
pVq,pfr,q-s
rVs
②p-q
③「q
④「rVq
⑥rA「s
⑧「rAr
结论否定引入
①②假言推理
③④析取三段论
⑥化简规则
⑤⑦合取引入规则
⑧为矛盾式，由归谬法可知，推理正确.
①」（rVs）②pVq
③p-r
④qfs
⑤（p-r）A（q-s）A（pVq）
⑥rVs
⑦（rVs）A」（rVs）
⑦为矛盾式，所以推理正确.
②③④合取引入规则
⑤构造性二难
④⑤合取引入规则
第8次作业（P65-66）
4.5在一阶逻辑中将下列命题符号化
⑴火车都比轮船快.
⑵有的火车比有的汽车快.
（3）不存在比所有火车都快的汽车.
（4）凡是汽车就比火车慢”是不对的.
因为没指明个体域，因而使用全总个体域
xy（F（x）AG（y）H（x,y））
其中,F（x）:
x是火车，G（y）:
y是轮船，H（x,y）:
x比y
xy（F（x）AG（y）AH（x,y））
其中，F（x）:
y是汽车，H（x,y）:
⑶「？
x（F（x）Ay（G（y）H（x,y）））
或
x（F（x）?
y（G（y）A「H（x,y）））
x是汽车，G（y）:
y是火车，H（x,y）:
xtl⑷「？
x?
y（F（x）AG（y）H（x,y））
?
y（F（x）AG（y）A「H（x,y））其中，F（x）:
x
4.9给定解释I如下：
（a）个体域为实数集合R.
快.
y快.
1y慢.
（b）特定元素a=0.
（c）特定函数f（x,y）=xy,x,y€R.
（d）谓词F（x,y）:
x=y,G（x,y）:
x<
y,x,y€R,
给出下列公式在I下的解释，并指出它们的真值:
⑴?
y（G（x,y）「F（x,y））
7.?
y（F（f（x,y）,a）G（x,y））
⑶?
y（G（x,y）「F（f（x,y）,a））
⑷？
y（G（f（x,y）,a）F（x,y））
y（x<
yx*y）,真值为1.
y（（x-y=0）x<
y））,真值为0.
⑶？
y（（x<
y）（xyw0））,真值为1.
y（（xy<
0）（x=y））,真值为0.
第9次作业（P79-80）
5.5给定解释I如下：
（a）个体域D={3,4};
（b）f（x）:
f（3）=4,f（4）=3;
（c）F（x,y）:
F（3,3）=F（4,4）=0,F（3,4）=F（4,3）=1.
试求下列公式在I下的真值:
⑴？
yF（x,y）
y（F（x,y）-F（f（x）,f（y）））
（F（3,3）VF（3,4））A（F（4,3）VF（4,4））
（0V1）A（1V0）1
（F（3,3）AF（3,4））V（F（4,3）AF（4,4））
（0A1）V（1A0）0
（F（3,3）-F（f（3）,f（3）））
A（F（4,3）-F（f（4）,f（3）））
A（F（3,4）-F（f（3）,f（4）））
A（F（4,4）-F（f（4）,f（4）））
（0一0）A（1一1）A（1一1）A（0一0）15.12求下列各式的前束范式.
（1）?
xF（x）一？
yG（x,y）
（3）?
xF（x,y）?
xG（x,y）
（5）?
x1F（x1,x2）一（F（x1）一」？
x2G（x1,x2））.
斓：
前束范式不是唯一的.
x（F（x）-？
yG（t,y））
y（F（x）-G（t,y））.
（?
xF（x,y）一？
xG（x,y））A（?
xG（x,y）一？
xF（x,y））
xF（x,y）-?
uG（u,y））A（?
xG（x,y）-?
vF（v,y））
u（F（x,y）-G（u,y））A?
v（G（x,y）-F（v,y））
u（F（x,y）一G（u,y））A?
w?
v（G（w,y）一F（v,y））
u?
v（（F（x）y）-G（u,y））A（G（w,y）-F（v,y）））
xiF（xi,x2）一（F（xi）一「？
x2G（xi,x2））
xiF（xi,x2）一（F（xl）一？
x2「G（x1,x2））
xiF（xi,x2）一？
x2（F（xi）一「G（xi,x2））
xiF（xi,x3）一？
x2（F（x4）—「G（x4,x2））
xi（F（xi,x3）一？
x2（F（x4）一「G（x4,x2）））
xi?
x2（F（xi,x3）一（F（x4）一「G（x4,x2）））
第i0次作业（P79-80）
5.15在自然推理系统Fl中构造下面推理的证明：
（i）前提：
？
y（（F（y）VG（y））-R（y））,?
xF（x）结论:
xR（x）.
⑵前提：
x（F（x）一（G（a）AR（x）））,?
xF（x）
结论:
x（F（x）AR（x））
⑶前提:
x（F（x）VG（x））,「？
xG（x）
⑷前提:
x（F（x）VG（x））,?
x（「G（x）V结论:
①？
y（（F（y）VG（y））-R（y））
②？
③？
④（F（c）VG（c））一R（c）
⑤F（c）
⑥F（c）VG（c）
⑦R（c）
⑧？
xR（x）
⑵证明：
②F（c）
x（F（x）一（G（a）AR（x）））
④F（c）一（G（a）AR（c））
⑤G（a）AR（c）
⑥R（c）
⑦F（c）AR（c）
R（x））,?
③全称量词消去规则
①存在量词消去规则
⑤附加
④⑥假言推理
⑦存在量词引入规则
①存在量词消去规则前提引入
④全称量词消去规则
②④假言推理
⑤化简
②⑥合取引入
⑶证明：
①「？
x「G（x）
③「G（c）
④？
x（F（x）VG（x））
⑤F（c）VG（c）
⑥F（c）
⑦？
⑷证明：
②F（y）VG（y）
x（「G（x）R（x））
④「G（y）V「R（y）
⑤？
⑥R（y）
⑦「G（y）
⑧F（y）
⑥？
②全称量词消去规则
③⑤析取三段论
⑥存在量词引入规则
①全称量词消去规则
⑤全称量词消去规则
④⑥析取三段论
②⑦析取三段论
⑧存在量词引入规则
第11次作业（P96）
（1）设F表示一年级大学生的集合，S表示二年级大学生的集合，M表示数学专业学生的集合，R表示计算机专业学生的集合，T表示听离散数学课学生的集合，G表示星期一晚上参加音乐会的学生的集合，H表示星期一晚上很迟才睡觉的学生的集合.问下列各句子所对应的集合表达式分别是什么？
请从备选的答
案中挑出来.
（1）所有计算机专业二年级的学生在学离散数学课.
（2）这些且只有这些学离散数学课的学生或者星期一晚上去听音乐会的学生在星期一晚上很迟才睡觉.
⑶听离散数学课的学生都没参加星期一晚上的音乐会.
⑷这个音乐会只有大学一，二年级的学生参加.
（5）除去数学专业和计算机专业以外的二年级学生都去参加了音乐会.
备选答案：
①TGUH②GUHT③SART
@H=GUT⑤TAG=⑥FUSG
⑦GFUS⑧S-（RUM）G⑥GS-（RAM）
（1）③SART
（2）④H=GUT
（3）⑤TAG=
（4）⑦GFUS
（5）⑧S-（RUM）G
（1）确定下列命题是否为真：
⑴
⑵e
⑶{}
⑷e{}
（5）{a,b}{a,b,c,{a,b,c}}
（6）{a,b}€{a,b,c,{a,b}}
⑺{a,b}{a,b,{{a,b}}}
（8）{a,b}€{a,b,{{a,b}}}
（1）真
（2）假（3）真（4）真（5）真（6）真（7）真（8）假
第12次作业（P130-131）
7.1.已知A={,{}},求AXP（A）.
AXP（A尸{,{}}X,{},{{}},{,{}}}
={<
>
<
{}>
{{}}>
{,{}}>
{},>
{},{}>
{},{{}}>
{},{,{}}>
}
列出集合A={2,3,4}上的恒等关系Ia,全域关系Ea,小于或等于关系La,整除关系Da.解：
Ia={2,2,3,3,4,4}
Ea=AXA={2,2,2,3,2,4,3,2,3,3,3,4,4,2,4,3,4,4}
La={2,2,2,3,2,4,3,3,3,4,4,4}
Da={2,2,2,4,3,3,4,4}
设A={0,1,2,3},R是A上的关系，且
R={?
0,0?
?
0,3?
2,0?
2,1?
2,3?
3,2?
给出R的关系矩阵和关系图
第13次作业（P131）
1001
0000
1101
0010
设
A={?
1,2?
2,4?
3,3?
B={?
1,3?
4,2?
求ALB,APB,domA,dom（ALB）,ranA,ranB,ran（APB）,fld（A-B）.
解:
AUB={?
}AHB={?
domA={1,2,3}dom（ALB）={1,2,3,4}ranA={2,3,4}ranB={3,4,2}ran（AnB）={4}fld（A-B）={1,2,3}
{?
}}?
{?
},?
求A-1,A2,A3,A?
},A[?
],A?
A?
{{?
}},A[{{?
}}].
A-1={?
}},?
}?
},
A2={?
},{?
A3=?
A?
}={?
A[?
]={?
}},
=?
}}={?
A[{{?
}}]=?
A={a,b,c,d},R1,R2为A上的关系，其中
Ri={?
a,a?
a,b?
b,d?
R2={?
a,d?
b,c?
c,b?
求R1CR2,R2CR1,R12,R23.
R1CR2={?
a,c?
R2CR1={?
c,d?
R12={?
R23={?
设A={a,b,c},试给出A上两个不同的关系R1和R2,使得R12=R1,R23=R2.
R1={?
b,b?
第14次作业（P131-133）
设人={1,2,…[。
},定义A上的关系
R={<
x,y>
|x,yCAAx+y=10}
说明R具有哪些性质并说明理由。
只有对称性。
因为1+1w10,<
1,1>
ER,所以都是自反的；
又由于<
5,5>
CR,因此都是反自反的；
根据xRy?
x+y=10=>
yRx,可知好对称的；
1,9>
9,1>
都是属于R,因此R不是反对称的；
<
都属于R,如果双传递的，必有<
属于R.但这是不成立的，因此R也不是彳^递的.
设人={1,2,3,4,5,6},R为A上的关系，R的关系图如图3.13所示：
（1）R={<
1,5>
2,5>
3,1>
3,3>
4,5>
3,5>
},R3={<
}.
⑵r（R尸{<
2,2>
4,4>
6,6>
s（R）={<
5,1>
5,2>
1,3>
5,4>
T（R）={<
第15次作业（P134-135）
设人={1,2,3,4},R为AA上的二元关系，〈a,b>
c,d>
AA,
a,b>
R<
a+b=c+d
（1）证明R为等价关系.
（2）求R导出的划分.
AA
a+b=a+b<
R是自反的
任意的<
CAxA
设<
a+b=c+d
c+d=a+b<
R是对称的
€AXA
若<
a+b=c+d,c+d=x+y
a+b=x+y<
・•.R是传递的
・•.R是AXA上的等价关系
⑵
n={{<
},{<
1,2>
2,1>
1,4>
4,1>
2,3>
3,2>
2,4>
4,2>
3,4>
4,3>
}}
7.43.对于下列集合与整除关系画出哈斯图
{1,2,3,4,6,8,12.24}
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11.12}
哈斯图如下图所示：
气
（1）
7.46.分别画出下列各偏序集＜A,Rp＞的哈斯图，并找出A的极大元'
极小元'
最大元和最小元.
（1）A={a,b,c,d,e}
Rp={<
a,d>
a,c>
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